Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lclkrlem2n 35827
 Description: Lemma for lclkr 35840. (Contributed by NM, 12-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2m.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t · = ( ·𝑠𝑈)
lclkrlem2m.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q × = (.r𝑆)
lclkrlem2m.z 0 = (0g𝑆)
lclkrlem2m.i 𝐼 = (invr𝑆)
lclkrlem2m.m = (-g𝑈)
lclkrlem2m.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p + = (+g𝐷)
lclkrlem2m.x (𝜑𝑋𝑉)
lclkrlem2m.y (𝜑𝑌𝑉)
lclkrlem2m.e (𝜑𝐸𝐹)
lclkrlem2m.g (𝜑𝐺𝐹)
lclkrlem2n.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2n.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2n.w (𝜑𝑈 ∈ LVec)
lclkrlem2n.j (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = 0 )
lclkrlem2n.k (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = 0 )
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2n (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2n
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . 2 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
2 lclkrlem2n.n . 2 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
3 lclkrlem2n.w . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
4 lveclmod 18927 . . 3 (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . 2 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
6 lclkrlem2m.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7 lclkrlem2m.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑈)
8 lclkrlem2m.p . . . 4 + = (+g𝐷)
9 lclkrlem2m.e . . . 4 (𝜑𝐸𝐹)
10 lclkrlem2m.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
116, 7, 8, 5, 9, 10ldualvaddcl 33435 . . 3 (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹)
12 lclkrlem2n.l . . . 4 𝐿 = (LKer‘𝑈)
136, 12, 1lkrlss 33400 . . 3 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹) → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
145, 11, 13syl2anc 691 . 2 (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
15 lclkrlem2n.j . . 3 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = 0 )
16 lclkrlem2m.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
17 lclkrlem2m.s . . . 4 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
18 lclkrlem2m.z . . . 4 0 = (0g𝑆)
19 lclkrlem2m.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
2016, 17, 18, 6, 12, 3, 11, 19ellkr2 33396 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ↔ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = 0 ))
2115, 20mpbird 246 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
22 lclkrlem2n.k . . 3 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = 0 )
23 lclkrlem2m.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
2416, 17, 18, 6, 12, 3, 11, 23ellkr2 33396 . . 3 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ↔ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = 0 ))
2522, 24mpbird 246 . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
261, 2, 5, 14, 21, 25lspprss 18813 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  {cpr 4127  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  0gc0g 15923  -gcsg 17247  invrcinvr 18494  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792  LVecclvec 18923  LFnlclfn 33362  LKerclk 33390  LDualcld 33428 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924  df-lfl 33363  df-lkr 33391  df-ldual 33429 This theorem is referenced by:  lclkrlem2v  35835
 Copyright terms: Public domain W3C validator