Theorem isacs5lem 16992

Description: If closure commutes with directed unions, then the closure of a set is the closure of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
acsdrscl.f	⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
isacs5lem	⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑠,𝑡   𝐹,𝑠,𝑡   𝑋,𝑠,𝑡

Proof of Theorem isacs5lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unifpw 8152	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) = 𝑠
2	1	fveq2i 6106	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (𝐹‘𝑠)
3		vex 3176	. . . . . . 7 ⊢ 𝑠 ∈ V
4		fpwipodrs 16987	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ V → (toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset)
5	3, 4	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset)
6		inss1 3795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑠
7		elpwi 4117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑠 ⊆ 𝑋)
8		sspwb 4844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ⊆ 𝑋 ↔ 𝒫 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋)
9	7, 8	sylib 207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝒫 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋)
10	9	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝒫 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋)
11	6, 10	syl5ss 3579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑋)
12		vpwex 4775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝒫 𝑠 ∈ V
13	12	inex1 4727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ V
14	13	elpw 4114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑋)
15	11, 14	sylibr 223	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
16	15	adantlr 747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
17		simplr 788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡)))
18		fveq2 6103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → (toInc‘𝑡) = (toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
19	18	eleq1d 2672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → ((toInc‘𝑡) ∈ Dirset ↔ (toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset))
20		unieq 4380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → ∪ 𝑡 = ∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))
21	20	fveq2d 6107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → (𝐹‘∪ 𝑡) = (𝐹‘∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
22		imaeq2 5381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → (𝐹 “ 𝑡) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
23	22	unieqd 4382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → ∪ (𝐹 “ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
24	21, 23	eqeq12d 2625	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → ((𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡) ↔ (𝐹‘∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
25	19, 24	imbi12d 333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → (((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡)) ↔ ((toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))))
26	25	rspcva 3280	. . . . . . 7 ⊢ (((𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) → ((toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
27	16, 17, 26	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → ((toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
28	5, 27	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝐹‘∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
29	2, 28	syl5eqr 2658	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
30	29	ralrimiva 2949	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
31	30	ex 449	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
32	31	imdistani 722	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  ∪ cuni 4372   “ cima 5041  ‘cfv 5804  Fincfn 7841  Moorecmre 16065  mrClscmrc 16066  Dirsetcdrs 16750  toInccipo 16974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ocomp 15790  df-preset 16751  df-drs 16752  df-poset 16769  df-ipo 16975

This theorem is referenced by:  acsficl  16994  isacs5  16995  isacs4  16996