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Theorem isacs5lem 16415
Description: If closure commutes with directed unions, then the closure of a set is the closure of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acsdrscl.f  |-  F  =  (mrCls `  C )
Assertion
Ref Expression
isacs5lem  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) )  ->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  X ( F `  s )  =  U. ( F " ( ~P s  i^i  Fin )
) ) )
Distinct variable groups:    C, s,
t    F, s, t    X, s, t

Proof of Theorem isacs5lem
StepHypRef Expression
1 unifpw 7877 . . . . . 6  |-  U. ( ~P s  i^i  Fin )  =  s
21fveq2i 5868 . . . . 5  |-  ( F `
 U. ( ~P s  i^i  Fin )
)  =  ( F `
 s )
3 vex 3048 . . . . . . 7  |-  s  e. 
_V
4 fpwipodrs 16410 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  _V  ->  (toInc `  ( ~P s  i^i 
Fin ) )  e. Dirset
)
53, 4mp1i 13 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) )  /\  s  e. 
~P X )  -> 
(toInc `  ( ~P s  i^i  Fin ) )  e. Dirset )
6 inss1 3652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P s  i^i  Fin )  C_ 
~P s
7 elpwi 3960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  ~P X  -> 
s  C_  X )
8 sspwb 4649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s 
C_  X  <->  ~P s  C_ 
~P X )
97, 8sylib 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ~P X  ->  ~P s  C_  ~P X
)
109adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  ~P X )  ->  ~P s  C_  ~P X
)
116, 10syl5ss 3443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  ~P X )  -> 
( ~P s  i^i 
Fin )  C_  ~P X )
123pwex 4586 . . . . . . . . . . 11  |-  ~P s  e.  _V
1312inex1 4544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P s  i^i  Fin )  e.  _V
1413elpw 3957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P s  i^i  Fin )  e.  ~P ~P X 
<->  ( ~P s  i^i 
Fin )  C_  ~P X )
1511, 14sylibr 216 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  ~P X )  -> 
( ~P s  i^i 
Fin )  e.  ~P ~P X )
1615adantlr 721 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) )  /\  s  e. 
~P X )  -> 
( ~P s  i^i 
Fin )  e.  ~P ~P X )
17 simplr 762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) )  /\  s  e. 
~P X )  ->  A. t  e.  ~P  ~P X ( (toInc `  t )  e. Dirset  ->  ( F `  U. t
)  =  U. ( F " t ) ) )
18 fveq2 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  (toInc `  t )  =  (toInc `  ( ~P s  i^i 
Fin ) ) )
1918eleq1d 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  (
(toInc `  t )  e. Dirset  <-> 
(toInc `  ( ~P s  i^i  Fin ) )  e. Dirset ) )
20 unieq 4206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  U. t  =  U. ( ~P s  i^i  Fin ) )
2120fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  ( F `  U. t )  =  ( F `  U. ( ~P s  i^i 
Fin ) ) )
22 imaeq2 5164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  ( F " t )  =  ( F " ( ~P s  i^i  Fin )
) )
2322unieqd 4208 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  U. ( F " t )  = 
U. ( F "
( ~P s  i^i 
Fin ) ) )
2421, 23eqeq12d 2466 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  (
( F `  U. t )  =  U. ( F " t )  <-> 
( F `  U. ( ~P s  i^i  Fin ) )  =  U. ( F " ( ~P s  i^i  Fin )
) ) )
2519, 24imbi12d 322 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  (
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) )  <-> 
( (toInc `  ( ~P s  i^i  Fin )
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. ( ~P s  i^i  Fin )
)  =  U. ( F " ( ~P s  i^i  Fin ) ) ) ) )
2625rspcva 3148 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ~P s  i^i 
Fin )  e.  ~P ~P X  /\  A. t  e.  ~P  ~P X ( (toInc `  t )  e. Dirset  ->  ( F `  U. t )  =  U. ( F " t ) ) )  ->  (
(toInc `  ( ~P s  i^i  Fin ) )  e. Dirset  ->  ( F `  U. ( ~P s  i^i 
Fin ) )  = 
U. ( F "
( ~P s  i^i 
Fin ) ) ) )
2716, 17, 26syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) )  /\  s  e. 
~P X )  -> 
( (toInc `  ( ~P s  i^i  Fin )
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. ( ~P s  i^i  Fin )
)  =  U. ( F " ( ~P s  i^i  Fin ) ) ) )
285, 27mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) )  /\  s  e. 
~P X )  -> 
( F `  U. ( ~P s  i^i  Fin ) )  =  U. ( F " ( ~P s  i^i  Fin )
) )
292, 28syl5eqr 2499 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) )  /\  s  e. 
~P X )  -> 
( F `  s
)  =  U. ( F " ( ~P s  i^i  Fin ) ) )
3029ralrimiva 2802 . . 3  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) )  ->  A. s  e.  ~P  X ( F `
 s )  = 
U. ( F "
( ~P s  i^i 
Fin ) ) )
3130ex 436 . 2  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) )  ->  A. s  e.  ~P  X ( F `  s )  =  U. ( F " ( ~P s  i^i  Fin )
) ) )
3231imdistani 696 1  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) )  ->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  X ( F `  s )  =  U. ( F " ( ~P s  i^i  Fin )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   _Vcvv 3045    i^i cin 3403    C_ wss 3404   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198   "cima 4837   ` cfv 5582   Fincfn 7569  Moorecmre 15488  mrClscmrc 15489  Dirsetcdrs 16172  toInccipo 16397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ocomp 15211  df-preset 16173  df-drs 16174  df-poset 16191  df-ipo 16398
This theorem is referenced by:  acsficl  16417  isacs5  16418  isacs4  16419
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