Theorem ip2i 27067

Description: Equation 6.48 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 26-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ip2i.8	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
ip2i.9	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
ip2i	⊢ ((2𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (2 · (𝐴𝑃𝐵))

Proof of Theorem ip2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ip1i.9	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
2	1	phnvi 27055	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
3		ip2i.8	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
4		ip1i.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5		ip1i.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
6	4, 5	nvgcl 26859	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐴) ∈ 𝑋)
7	2, 3, 3, 6	mp3an 1416	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝐺𝐴) ∈ 𝑋
8		ip2i.9	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
9		ip1i.7	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
10	4, 9	dipcl 26951	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
11	2, 7, 8, 10	mp3an 1416	. . . 4 ⊢ ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ
12	11	addid1i 10102	. . 3 ⊢ (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + 0) = ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵)
13		ip1i.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
14		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
15	4, 5, 13, 14	nvrinv 26890	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vec‘𝑈))
16	2, 3, 15	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vec‘𝑈)
17	16	oveq1i 6559	. . . . 5 ⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵)
18	4, 14, 9	dip0l 26957	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵) = 0)
19	2, 8, 18	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵) = 0
20	17, 19	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = 0
21	20	oveq2i 6560	. . 3 ⊢ (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵)) = (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + 0)
22		df-2 10956	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
23	22	oveq1i 6559	. . . . 5 ⊢ (2𝑆𝐴) = ((1 + 1)𝑆𝐴)
24		ax-1cn 9873	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	24, 24, 3	3pm3.2i 1232	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)
26	4, 5, 13	nvdir 26870	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((1 + 1)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
27	2, 25, 26	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴))
28	4, 13	nvsid 26866	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
29	2, 3, 28	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (1𝑆𝐴) = 𝐴
30	29, 29	oveq12i 6561	. . . . . 6 ⊢ ((1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝐴)
31	27, 30	eqtri 2632	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1)𝑆𝐴) = (𝐴𝐺𝐴)
32	23, 31	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ (2𝑆𝐴) = (𝐴𝐺𝐴)
33	32	oveq1i 6559	. . 3 ⊢ ((2𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵)
34	12, 21, 33	3eqtr4ri 2643	. 2 ⊢ ((2𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵))
35	4, 5, 13, 9, 1, 3, 3, 8	ip1i 27066	. 2 ⊢ (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵)) = (2 · (𝐴𝑃𝐵))
36	34, 35	eqtri 2632	1 ⊢ ((2𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (2 · (𝐴𝑃𝐵))

Syntax hints:   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  -cneg 10146  2c2 10947  NrmCVeccnv 26823   +_𝑣 cpv 26824  BaseSetcba 26825   ·_𝑠OLD cns 26826  0_veccn0v 26827  ·_𝑖OLDcdip 26939  CPreHil_OLDccphlo 27051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-nmcv 26839  df-dip 26940  df-ph 27052

This theorem is referenced by:  ipdirilem  27068