Theorem ip2i 9828

Description: Equation 6.48 of [Ponnusamy] p. 362.

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	|- X = (BaseSet` U)
ip1i.2	|- G = (+v` U)
ip1i.4	|- S = (.s` U)
ip1i.7	|- P = (.i` U)
ip1i.9	|- U e. CPreHil
ip2i.8	|- A e. X
ip2i.9	|- B e. X

Assertion

Ref	Expression
ip2i	|- ((2SA)PB) = (2 x. (APB))

Proof of Theorem ip2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 7154	. . . . . 6 |- 2 = (1 + 1)
2	1	opreq1i 4892	. . . . 5 |- (2SA) = ((1 + 1)SA)
3		ip1i.9	. . . . . . 7 |- U e. CPreHil
4	3	phnvi 9816	. . . . . 6 |- U e. NrmCVec
5		ax1cn 6422	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
6		ip2i.8	. . . . . . 7 |- A e. X
7	5, 5, 6	3pm3.2i 1048	. . . . . 6 |- (1 e. CC /\ 1 e. CC /\ A e. X)
8		ip1i.1	. . . . . . 7 |- X = (BaseSet` U)
9		ip1i.2	. . . . . . 7 |- G = (+v` U)
10		ip1i.4	. . . . . . 7 |- S = (.s` U)
11	8, 9, 10	nvdir 9584	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ (1 e. CC /\ 1 e. CC /\ A e. X)) -> ((1 + 1)SA) = ((1SA)G(1SA)))
12	4, 7, 11	mp2an 761	. . . . 5 |- ((1 + 1)SA) = ((1SA)G(1SA))
13	8, 10	nvsid 9580	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (1SA) = A)
14	4, 6, 13	mp2an 761	. . . . . 6 |- (1SA) = A
15	14, 14	opreq12i 4894	. . . . 5 |- ((1SA)G(1SA)) = (AGA)
16	2, 12, 15	3eqtri 1912	. . . 4 |- (2SA) = (AGA)
17	16	opreq1i 4892	. . 3 |- ((2SA)PB) = ((AGA)PB)
18	8, 9	nvgcl 9571	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A e. X) -> (AGA) e. X)
19	4, 6, 6, 18	mp3an 1191	. . . . 5 |- (AGA) e. X
20		ip2i.9	. . . . 5 |- B e. X
21		ip1i.7	. . . . . 6 |- P = (.i` U)
22	8, 21	ipcl 9704	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ (AGA) e. X /\ B e. X) -> ((AGA)PB) e. CC)
23	4, 19, 20, 22	mp3an 1191	. . . 4 |- ((AGA)PB) e. CC
24	23	addid1i 6483	. . 3 |- (((AGA)PB) + 0) = ((AGA)PB)
25	17, 24	eqtr4i 1911	. 2 |- ((2SA)PB) = (((AGA)PB) + 0)
26		eqid 1884	. . . . . . 7 |- (0v` U) = (0v` U)
27	8, 9, 10, 26	nvrinv 9605	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (AG(-u1SA)) = (0v` U))
28	4, 6, 27	mp2an 761	. . . . 5 |- (AG(-u1SA)) = (0v` U)
29	28	opreq1i 4892	. . . 4 |- ((AG(-u1SA))PB) = ((0v` U)PB)
30	8, 26, 21	ip0l 9710	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> ((0v` U)PB) = 0)
31	4, 20, 30	mp2an 761	. . . 4 |- ((0v` U)PB) = 0
32	29, 31	eqtri 1908	. . 3 |- ((AG(-u1SA))PB) = 0
33	32	opreq2i 4893	. 2 |- (((AGA)PB) + ((AG(-u1SA))PB)) = (((AGA)PB) + 0)
34	8, 9, 10, 21, 3, 6, 6, 20	ip1i 9827	. 2 |- (((AGA)PB) + ((AG(-u1SA))PB)) = (2 x. (APB))
35	25, 33, 34	3eqtr2i 1915	1 |- ((2SA)PB) = (2 x. (APB))

Syntax hints:   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391  -ucneg 6446  2c2 7145  NrmCVeccnv 9535  +vcpv 9536  BaseSetcba 9537  .scns 9538  0vcn0v 9539  .icip 9688  CPreHilcphl 9812

This theorem is referenced by:  ipdirilem 9829

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-sum 8240  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-nm 9551  df-ip 9689  df-ph 9813

Copyright terms: Public domain