Theorem icccmplem3 22435

Description: Lemma for icccmp 22436. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
icccmp.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
icccmp.2	⊢ 𝑇 = (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵))
icccmp.3	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
icccmp.4	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧}
icccmp.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
icccmp.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
icccmp.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
icccmp.8	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
icccmp.9	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
icccmplem3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐷   𝑥,𝑇,𝑧   𝑧,𝐽   𝑥,𝑈,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧)   𝐷(𝑧)   𝑆(𝑥,𝑧)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem icccmplem3

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icccmp.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑈)
2		icccmp.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧}
3		ssrab2 3650	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧} ⊆ (𝐴[,]𝐵)
4	2, 3	eqsstri 3598	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
5		icccmp.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6		icccmp.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7		iccssre 12126	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
8	5, 6, 7	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
9	4, 8	syl5ss 3579	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
10		icccmp.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
11		icccmp.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵))
12		icccmp.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
13		icccmp.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
14		icccmp.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
15	10, 11, 12, 2, 5, 6, 13, 14, 1	icccmplem1 22433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵))
16	15	simpld 474	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
17		ne0i 3880	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑆 ≠ ∅)
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
19	15	simprd 478	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵)
20		breq2 4587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (𝑦 ≤ 𝑣 ↔ 𝑦 ≤ 𝐵))
21	20	ralbidv 2969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑣 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵))
22	21	rspcev 3282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵) → ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑣)
23	6, 19, 22	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑣)
24		suprcl 10862	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑣) → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
25	9, 18, 23, 24	syl3anc 1318	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
26		suprub 10863	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑣) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
27	9, 18, 23, 16, 26	syl31anc 1321	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
28		suprleub 10866	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑣) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵))
29	9, 18, 23, 6, 28	syl31anc 1321	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵))
30	19, 29	mpbird 246	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵)
31		elicc2 12109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵)))
32	5, 6, 31	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵)))
33	25, 27, 30, 32	mpbir3and 1238	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵))
34	1, 33	sseldd 3569	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ∪ 𝑈)
35		eluni2 4376	. . 3 ⊢ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ∪ 𝑈 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢)
36	34, 35	sylib 207	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢)
37	14	sselda 3568	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → 𝑢 ∈ 𝐽)
38	12	rexmet 22402	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ)
39		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
40	12, 39	tgioo 22407	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘𝐷)
41	10, 40	eqtri 2632	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
42	41	mopni2 22108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽 ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)
43	38, 42	mp3an1 1403	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐽 ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)
44	43	ex 449	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐽 → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢))
45	37, 44	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢))
46	5	ad2antrr 758	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐴 ∈ ℝ)
47	6	ad2antrr 758	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ℝ)
48	13	ad2antrr 758	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
49	14	ad2antrr 758	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝑈 ⊆ 𝐽)
50	1	ad2antrr 758	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑈)
51		simplr 788	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝑢 ∈ 𝑈)
52		simprl 790	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝑤 ∈ ℝ+)
53		simprr 792	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)
54		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ sup(𝑆, ℝ, < ) = sup(𝑆, ℝ, < )
55		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ if((sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)) ≤ 𝐵, (sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)), 𝐵) = if((sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)) ≤ 𝐵, (sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)), 𝐵)
56	10, 11, 12, 2, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55	icccmplem2 22434	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
57	56	rexlimdvaa 3014	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → (∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢 → 𝐵 ∈ 𝑆))
58	45, 57	syld 46	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢 → 𝐵 ∈ 𝑆))
59	58	rexlimdva 3013	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑢 ∈ 𝑈 sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢 → 𝐵 ∈ 𝑆))
60	36, 59	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ifcif 4036  𝒫 cpw 4108  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583   × cxp 5036  ran crn 5039   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  supcsup 8229  ℝcr 9814   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  2c2 10947  ℝ⁺crp 11708  (,)cioo 12046  [,]cicc 12049  abscabs 13822   ↾_t crest 15904  topGenctg 15921  ∞Metcxmt 19552  ballcbl 19554  MetOpencmopn 19557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-icc 12053  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523

This theorem is referenced by:  icccmp  22436