Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mopni2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mopni2 22108
 Description: An open set of a metric space includes a ball around each of its points. (Contributed by NM, 2-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopni.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
mopni2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽𝑃𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝑥,𝑋

Proof of Theorem mopni2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21mopni 22107 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽𝑃𝐴) → ∃𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑦𝑦𝐴))
31mopnss 22061 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽) → 𝐴𝑋)
43sselda 3568 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽) ∧ 𝑃𝐴) → 𝑃𝑋)
5 blssex 22042 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (∃𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑦𝑦𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴))
65adantlr 747 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽) ∧ 𝑃𝑋) → (∃𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑦𝑦𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴))
74, 6syldan 486 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽) ∧ 𝑃𝐴) → (∃𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑦𝑦𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴))
873impa 1251 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽𝑃𝐴) → (∃𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑦𝑦𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴))
92, 8mpbid 221 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽𝑃𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝ+crp 11708  ∞Metcxmt 19552  ballcbl 19554  MetOpencmopn 19557 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523 This theorem is referenced by:  mopni3  22109  neibl  22116  met1stc  22136  met2ndci  22137  prdsxmslem2  22144  metcnp3  22155  xrsmopn  22423  iccntr  22432  icccmplem3  22435  reconnlem2  22438  opnreen  22442  metdseq0  22465  cnllycmp  22563  nmhmcn  22728  lmmbr  22864  cfilfcls  22880  iscmet3lem2  22898  bcthlem5  22933  opnmbllem  23175  ellimc3  23449  lhop  23583  dvcnvre  23586  xrlimcnp  24495  lgamucov  24564  ubthlem1  27110  cnllyscon  30481  ptrecube  32579  opnmbllem0  32615  heiborlem8  32787  qndenserrnopnlem  39193  opnvonmbllem2  39523
 Copyright terms: Public domain W3C validator