Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hisubcomi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hisubcomi 27345
 Description: Two vector subtractions simultaneously commute in an inner product. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hisubcom.1 𝐴 ∈ ℋ
hisubcom.2 𝐵 ∈ ℋ
hisubcom.3 𝐶 ∈ ℋ
hisubcom.4 𝐷 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
hisubcomi ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐶 𝐷)) = ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶))

Proof of Theorem hisubcomi
StepHypRef Expression
1 hisubcom.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℋ
2 hisubcom.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℋ
31, 2hvnegdii 27303 . . 3 (-1 · (𝐵 𝐴)) = (𝐴 𝐵)
4 hisubcom.4 . . . 4 𝐷 ∈ ℋ
5 hisubcom.3 . . . 4 𝐶 ∈ ℋ
64, 5hvnegdii 27303 . . 3 (-1 · (𝐷 𝐶)) = (𝐶 𝐷)
73, 6oveq12i 6561 . 2 ((-1 · (𝐵 𝐴)) ·ih (-1 · (𝐷 𝐶))) = ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐶 𝐷))
8 neg1cn 11001 . . . 4 -1 ∈ ℂ
91, 2hvsubcli 27262 . . . 4 (𝐵 𝐴) ∈ ℋ
104, 5hvsubcli 27262 . . . 4 (𝐷 𝐶) ∈ ℋ
118, 8, 9, 10his35i 27330 . . 3 ((-1 · (𝐵 𝐴)) ·ih (-1 · (𝐷 𝐶))) = ((-1 · (∗‘-1)) · ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶)))
12 neg1rr 11002 . . . . . . 7 -1 ∈ ℝ
13 cjre 13727 . . . . . . 7 (-1 ∈ ℝ → (∗‘-1) = -1)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . 6 (∗‘-1) = -1
1514oveq2i 6560 . . . . 5 (-1 · (∗‘-1)) = (-1 · -1)
16 ax-1cn 9873 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
1716, 16mul2negi 10357 . . . . 5 (-1 · -1) = (1 · 1)
18 1t1e1 11052 . . . . 5 (1 · 1) = 1
1915, 17, 183eqtri 2636 . . . 4 (-1 · (∗‘-1)) = 1
2019oveq1i 6559 . . 3 ((-1 · (∗‘-1)) · ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶))) = (1 · ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶)))
219, 10hicli 27322 . . . 4 ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶)) ∈ ℂ
2221mulid2i 9922 . . 3 (1 · ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶))) = ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶))
2311, 20, 223eqtri 2636 . 2 ((-1 · (𝐵 𝐴)) ·ih (-1 · (𝐷 𝐶))) = ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶))
247, 23eqtr3i 2634 1 ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐶 𝐷)) = ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   · cmul 9820  -cneg 10146  ∗ccj 13684   ℋchil 27160   ·ℎ csm 27162   ·ih csp 27163   −ℎ cmv 27166 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvmulass 27248  ax-hvdistr1 27249  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his3 27325 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-hvsub 27212 This theorem is referenced by:  lnophmlem2  28260
 Copyright terms: Public domain W3C validator