Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnophmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnophmlem2 28260
 Description: Lemma for lnophmi 28261. (Contributed by NM, 24-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnophmlem.1 𝐴 ∈ ℋ
lnophmlem.2 𝐵 ∈ ℋ
lnophmlem.3 𝑇 ∈ LinOp
lnophmlem.4 𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
lnophmlem2 (𝐴 ·ih (𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑇

Proof of Theorem lnophmlem2
StepHypRef Expression
1 lnophmlem.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℋ
2 lnophmlem.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℋ
3 lnophmlem.3 . . . . . . . . 9 𝑇 ∈ LinOp
43lnopfi 28212 . . . . . . . 8 𝑇: ℋ⟶ ℋ
54ffvelrni 6266 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇𝐴) ∈ ℋ)
62, 5ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑇𝐴) ∈ ℋ
74ffvelrni 6266 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇𝐵) ∈ ℋ)
81, 7ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑇𝐵) ∈ ℋ
91, 6, 2, 8polid2i 27398 . . . . 5 (𝐵 ·ih (𝑇𝐴)) = (((((𝐵 + 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴))) − ((𝐵 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴)))) + (i · (((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))) − ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴))))))) / 4)
101, 2hvcomi 27260 . . . . . . . . 9 (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)
118, 6hvcomi 27260 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))
123lnopaddi 28214 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)))
132, 1, 12mp2an 704 . . . . . . . . . 10 (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))
1411, 13eqtr4i 2635 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴)) = (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))
1510, 14oveq12i 6561 . . . . . . . 8 ((𝐵 + 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴))) = ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)))
161, 2, 8, 6hisubcomi 27345 . . . . . . . . 9 ((𝐵 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) = ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))
173lnopsubi 28217 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))
182, 1, 17mp2an 704 . . . . . . . . . 10 (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵))
1918oveq2i 6560 . . . . . . . . 9 ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵))) = ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))
2016, 19eqtr4i 2635 . . . . . . . 8 ((𝐵 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) = ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))
2115, 20oveq12i 6561 . . . . . . 7 (((𝐵 + 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴))) − ((𝐵 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴)))) = (((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵))))
22 ax-icn 9874 . . . . . . . . . . 11 i ∈ ℂ
2322, 1hvmulcli 27255 . . . . . . . . . . . 12 (i · 𝐵) ∈ ℋ
242, 23hvsubcli 27262 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 (i · 𝐵)) ∈ ℋ
254ffvelrni 6266 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 (i · 𝐵)) ∈ ℋ → (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ∈ ℋ)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ∈ ℋ
2722, 22, 24, 26his35i 27330 . . . . . . . . . 10 ((i · (𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (i · (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))) = ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))))
2822, 2, 23hvsubdistr1i 27293 . . . . . . . . . . . 12 (i · (𝐴 (i · 𝐵))) = ((i · 𝐴) − (i · (i · 𝐵)))
2922, 2hvmulcli 27255 . . . . . . . . . . . . . 14 (i · 𝐴) ∈ ℋ
3022, 23hvmulcli 27255 . . . . . . . . . . . . . 14 (i · (i · 𝐵)) ∈ ℋ
3129, 30hvsubvali 27261 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · 𝐴) − (i · (i · 𝐵))) = ((i · 𝐴) + (-1 · (i · (i · 𝐵))))
3222, 22, 1hvmulassi 27287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i · i) · 𝐵) = (i · (i · 𝐵))
3332oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1 · ((i · i) · 𝐵)) = (-1 · (i · (i · 𝐵)))
34 ixi 10535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (i · i) = -1
3534oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-1 · (i · i)) = (-1 · -1)
36 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℂ
3736, 36mul2negi 10357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-1 · -1) = (1 · 1)
38 1t1e1 11052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 · 1) = 1
3935, 37, 383eqtri 2636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-1 · (i · i)) = 1
4039oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1 · (i · i)) · 𝐵) = (1 · 𝐵)
41 neg1cn 11001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -1 ∈ ℂ
4222, 22mulcli 9924 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i · i) ∈ ℂ
4341, 42, 1hvmulassi 27287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1 · (i · i)) · 𝐵) = (-1 · ((i · i) · 𝐵))
44 ax-hvmulid 27247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℋ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
451, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · 𝐵) = 𝐵
4640, 43, 453eqtr3i 2640 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1 · ((i · i) · 𝐵)) = 𝐵
4733, 46eqtr3i 2634 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 · (i · (i · 𝐵))) = 𝐵
4847oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · 𝐴) + (-1 · (i · (i · 𝐵)))) = ((i · 𝐴) + 𝐵)
4931, 48eqtri 2632 . . . . . . . . . . . 12 ((i · 𝐴) − (i · (i · 𝐵))) = ((i · 𝐴) + 𝐵)
5029, 1hvcomi 27260 . . . . . . . . . . . 12 ((i · 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (i · 𝐴))
5128, 49, 503eqtri 2636 . . . . . . . . . . 11 (i · (𝐴 (i · 𝐵))) = (𝐵 + (i · 𝐴))
5251fveq2i 6106 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇‘(i · (𝐴 (i · 𝐵)))) = (𝑇‘(𝐵 + (i · 𝐴)))
533lnopmuli 28215 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ ℂ ∧ (𝐴 (i · 𝐵)) ∈ ℋ) → (𝑇‘(i · (𝐴 (i · 𝐵)))) = (i · (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))))
5422, 24, 53mp2an 704 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇‘(i · (𝐴 (i · 𝐵)))) = (i · (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))
553lnopaddmuli 28216 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐵 + (i · 𝐴))) = ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴))))
5622, 1, 2, 55mp3an 1416 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇‘(𝐵 + (i · 𝐴))) = ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))
5752, 54, 563eqtr3i 2640 . . . . . . . . . . 11 (i · (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) = ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))
5851, 57oveq12i 6561 . . . . . . . . . 10 ((i · (𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (i · (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))) = ((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴))))
59 cji 13747 . . . . . . . . . . . . . 14 (∗‘i) = -i
6059oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . 13 (i · (∗‘i)) = (i · -i)
6122, 22mulneg2i 10356 . . . . . . . . . . . . 13 (i · -i) = -(i · i)
6234negeqi 10153 . . . . . . . . . . . . . 14 -(i · i) = --1
63 negneg1e1 11005 . . . . . . . . . . . . . 14 --1 = 1
6462, 63eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . 13 -(i · i) = 1
6560, 61, 643eqtri 2636 . . . . . . . . . . . 12 (i · (∗‘i)) = 1
6665oveq1i 6559 . . . . . . . . . . 11 ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))) = (1 · ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))))
67 lnophmlem.4 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ
6824, 2, 3, 67lnophmlem1 28259 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) ∈ ℝ
6968recni 9931 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) ∈ ℂ
7069mulid2i 9922 . . . . . . . . . . 11 (1 · ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))) = ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))
7166, 70eqtri 2632 . . . . . . . . . 10 ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))) = ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))
7227, 58, 713eqtr3i 2640 . . . . . . . . 9 ((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))) = ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))
7322, 6hvmulcli 27255 . . . . . . . . . . . 12 (i · (𝑇𝐴)) ∈ ℋ
741, 29, 8, 73hisubcomi 27345 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴)))) = (((i · 𝐴) − 𝐵) ·ih ((i · (𝑇𝐴)) − (𝑇𝐵)))
7534oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i · i) · 𝐵) = (-1 · 𝐵)
7632, 75eqtr3i 2634 . . . . . . . . . . . . . 14 (i · (i · 𝐵)) = (-1 · 𝐵)
7776oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · 𝐴) + (i · (i · 𝐵))) = ((i · 𝐴) + (-1 · 𝐵))
7822, 2, 23hvdistr1i 27292 . . . . . . . . . . . . 13 (i · (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((i · 𝐴) + (i · (i · 𝐵)))
7929, 1hvsubvali 27261 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · 𝐴) − 𝐵) = ((i · 𝐴) + (-1 · 𝐵))
8077, 78, 793eqtr4i 2642 . . . . . . . . . . . 12 (i · (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((i · 𝐴) − 𝐵)
8180fveq2i 6106 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇‘(i · (𝐴 + (i · 𝐵)))) = (𝑇‘((i · 𝐴) − 𝐵))
822, 23hvaddcli 27259 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℋ
833lnopmuli 28215 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℋ) → (𝑇‘(i · (𝐴 + (i · 𝐵)))) = (i · (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
8422, 82, 83mp2an 704 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇‘(i · (𝐴 + (i · 𝐵)))) = (i · (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
853lnopmulsubi 28219 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((i · 𝐴) − 𝐵)) = ((i · (𝑇𝐴)) − (𝑇𝐵)))
8622, 2, 1, 85mp3an 1416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇‘((i · 𝐴) − 𝐵)) = ((i · (𝑇𝐴)) − (𝑇𝐵))
8781, 84, 863eqtr3i 2640 . . . . . . . . . . . 12 (i · (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = ((i · (𝑇𝐴)) − (𝑇𝐵))
8880, 87oveq12i 6561 . . . . . . . . . . 11 ((i · (𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (i · (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = (((i · 𝐴) − 𝐵) ·ih ((i · (𝑇𝐴)) − (𝑇𝐵)))
8974, 88eqtr4i 2635 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴)))) = ((i · (𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (i · (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
904ffvelrni 6266 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℋ → (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℋ)
9182, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℋ
9222, 22, 82, 91his35i 27330 . . . . . . . . . 10 ((i · (𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (i · (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
9365oveq1i 6559 . . . . . . . . . . 11 ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = (1 · ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
9482, 2, 3, 67lnophmlem1 28259 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) ∈ ℝ
9594recni 9931 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) ∈ ℂ
9695mulid2i 9922 . . . . . . . . . . 11 (1 · ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
9793, 96eqtri 2632 . . . . . . . . . 10 ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
9889, 92, 973eqtri 2636 . . . . . . . . 9 ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴)))) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
9972, 98oveq12i 6561 . . . . . . . 8 (((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))) − ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴))))) = (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
10099oveq2i 6560 . . . . . . 7 (i · (((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))) − ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴)))))) = (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))
10121, 100oveq12i 6561 . . . . . 6 ((((𝐵 + 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴))) − ((𝐵 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴)))) + (i · (((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))) − ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))
102101oveq1i 6559 . . . . 5 (((((𝐵 + 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴))) − ((𝐵 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴)))) + (i · (((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))) − ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴))))))) / 4) = (((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) / 4)
1039, 102eqtri 2632 . . . 4 (𝐵 ·ih (𝑇𝐴)) = (((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) / 4)
104103fveq2i 6106 . . 3 (∗‘(𝐵 ·ih (𝑇𝐴))) = (∗‘(((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) / 4))
105 4ne0 10994 . . . 4 4 ≠ 0
1062, 1hvaddcli 27259 . . . . . . . . 9 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ
107106, 2, 3, 67lnophmlem1 28259 . . . . . . . 8 ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ
1082, 1hvsubcli 27262 . . . . . . . . 9 (𝐴 𝐵) ∈ ℋ
109108, 2, 3, 67lnophmlem1 28259 . . . . . . . 8 ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵))) ∈ ℝ
110107, 109resubcli 10222 . . . . . . 7 (((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) ∈ ℝ
111110recni 9931 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) ∈ ℂ
11268, 94resubcli 10222 . . . . . . . 8 (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℝ
113112recni 9931 . . . . . . 7 (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℂ
11422, 113mulcli 9924 . . . . . 6 (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))) ∈ ℂ
115111, 114addcli 9923 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) ∈ ℂ
116 4re 10974 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
117116recni 9931 . . . . 5 4 ∈ ℂ
118115, 117cjdivi 13779 . . . 4 (4 ≠ 0 → (∗‘(((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) / 4)) = ((∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) / (∗‘4)))
119105, 118ax-mp 5 . . 3 (∗‘(((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) / 4)) = ((∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) / (∗‘4))
120 cjreim 13748 . . . . . . 7 (((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℝ) → (∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) − (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))))
121110, 112, 120mp2an 704 . . . . . 6 (∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) − (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))
12282, 1, 3, 67lnophmlem1 28259 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) ∈ ℝ
12368, 122resubcli 10222 . . . . . . . . 9 (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℝ
124123recni 9931 . . . . . . . 8 (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℂ
12522, 124mulcli 9924 . . . . . . 7 (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))) ∈ ℂ
126111, 125negsubi 10238 . . . . . 6 ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + -(i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) − (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))
127121, 126eqtr4i 2635 . . . . 5 (∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + -(i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))
12822, 113mulneg2i 10356 . . . . . . 7 (i · -(((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))) = -(i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))
12969, 95negsubdi2i 10246 . . . . . . . 8 -(((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))))
130129oveq2i 6560 . . . . . . 7 (i · -(((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))) = (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))))
131128, 130eqtr3i 2634 . . . . . 6 -(i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))) = (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))))
132131oveq2i 6560 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + -(i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))))))
13313oveq2i 6560 . . . . . . 7 ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) = ((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)))
134133, 19oveq12i 6561 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) = (((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵))))
1353lnopaddmuli 28216 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))))
13622, 2, 1, 135mp3an 1416 . . . . . . . . 9 (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))
137136oveq2i 6560 . . . . . . . 8 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))))
1383lnopsubmuli 28218 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))))
13922, 2, 1, 138mp3an 1416 . . . . . . . . 9 (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵)))
140139oveq2i 6560 . . . . . . . 8 ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) = ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))))
141137, 140oveq12i 6561 . . . . . . 7 (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))) = (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵)))))
142141oveq2i 6560 . . . . . 6 (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))))) = (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))))))
143134, 142oveq12i 6561 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵)))))))
144127, 132, 1433eqtri 2636 . . . 4 (∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵)))))))
145 cjre 13727 . . . . 5 (4 ∈ ℝ → (∗‘4) = 4)
146116, 145ax-mp 5 . . . 4 (∗‘4) = 4
147144, 146oveq12i 6561 . . 3 ((∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) / (∗‘4)) = (((((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))))))) / 4)
148104, 119, 1473eqtrri 2637 . 2 (((((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))))))) / 4) = (∗‘(𝐵 ·ih (𝑇𝐴)))
1492, 8, 1, 6polid2i 27398 . 2 (𝐴 ·ih (𝑇𝐵)) = (((((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))))))) / 4)
1506, 1his1i 27341 . 2 ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (∗‘(𝐵 ·ih (𝑇𝐴)))
151148, 149, 1503eqtr4i 2642 1 (𝐴 ·ih (𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  ici 9817   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  4c4 10949  ∗ccj 13684   ℋchil 27160   +ℎ cva 27161   ·ℎ csm 27162   ·ih csp 27163   −ℎ cmv 27166  LinOpclo 27188 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvmulass 27248  ax-hvdistr1 27249  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his2 27324  ax-his3 27325 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-hvsub 27212  df-lnop 28084 This theorem is referenced by:  lnophmi  28261
 Copyright terms: Public domain W3C validator