Theorem hhshsslem2 27509

Description: Lemma for hhsssh 27510. (Contributed by NM, 6-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhsst.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhsst.2	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
hhssp3.3	⊢ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)
hhssp3.4	⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hhshsslem2	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Proof of Theorem hhshsslem2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhssp3.4	. . 3 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ
2		hhsst.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
3	2	hhnv 27406	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
4		hhssp3.3	. . . . 5 ⊢ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)
5	2	hh0v 27409	. . . . . 6 ⊢ 0ℎ = (0vec‘𝑈)
6		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
7		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
8	5, 6, 7	sspz 26974	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → (0vec‘𝑊) = 0ℎ)
9	3, 4, 8	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (0vec‘𝑊) = 0ℎ
10	7	sspnv 26965	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
11	3, 4, 10	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
12		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
13	12, 6	nvzcl 26873	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑊) ∈ (BaseSet‘𝑊))
14	11, 13	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0vec‘𝑊) ∈ (BaseSet‘𝑊)
15		hhsst.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
16	2, 15, 4, 1	hhshsslem1 27508	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)
17	14, 16	eleqtrri 2687	. . . 4 ⊢ (0vec‘𝑊) ∈ 𝐻
18	9, 17	eqeltrri 2685	. . 3 ⊢ 0ℎ ∈ 𝐻
19	1, 18	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ 𝐻)
20	2	hhva 27407	. . . . . . 7 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
21		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘𝑊)
22	16, 20, 21, 7	sspgval 26968	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → (𝑥( +𝑣 ‘𝑊)𝑦) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
23	3, 4, 22	mpanl12 714	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( +𝑣 ‘𝑊)𝑦) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
24	16, 21	nvgcl 26859	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( +𝑣 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐻)
25	11, 24	mp3an1 1403	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( +𝑣 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐻)
26	23, 25	eqeltrrd 2689	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)
27	26	rgen2a 2960	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻
28	2	hhsm 27410	. . . . . . 7 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
29		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑊) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
30	16, 28, 29, 7	sspsval 26970	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → (𝑥( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝑦) = (𝑥 ·ℎ 𝑦))
31	3, 4, 30	mpanl12 714	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝑦) = (𝑥 ·ℎ 𝑦))
32	16, 29	nvscl 26865	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐻)
33	11, 32	mp3an1 1403	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐻)
34	31, 33	eqeltrrd 2689	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)
35	34	rgen2 2958	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐻
36	27, 35	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)
37		issh2 27450	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ ↔ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ 𝐻) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)))
38	19, 36, 37	mpbir2an 957	1 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540  ⟨cop 4131   × cxp 5036   ↾ cres 5040  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  NrmCVeccnv 26823   +_𝑣 cpv 26824  BaseSetcba 26825   ·_𝑠OLD cns 26826  0_veccn0v 26827  SubSpcss 26960   ℋchil 27160   +_ℎ cva 27161   ·_ℎ csm 27162  norm_ℎcno 27164  0_ℎc0v 27165   S_ℋ csh 27169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvmulass 27248  ax-hvdistr1 27249  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his2 27324  ax-his3 27325  ax-his4 27326

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-gdiv 26734  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-vs 26838  df-nmcv 26839  df-ssp 26961  df-hnorm 27209  df-hvsub 27212  df-sh 27448

This theorem is referenced by:  hhsssh  27510