Theorem hhshsslem2 10771

Description: Lemma for hhsssh 10772.

Hypotheses

Ref	Expression
hhsst.1	|- U = <.<. +h , .h >., normh>.
hhsst.2	|- W = <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.
hhssp3.3	|- W e. (SubSp` U)
hhssp3.4	|- H C_ ~H

Assertion

Ref	Expression
hhshsslem2	|- H e. SH

Proof of Theorem hhshsslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sh 10711	. 2 |- (H e. SH <-> ((H C_ ~H /\ 0h e. H) /\ (A.x e. H A.y e. H (x +h y) e. H /\ A.x e. CC A.y e. H (x .h y) e. H)))
2		hhssp3.4	. . 3 |- H C_ ~H
3		hhsst.1	. . . . . 6 |- U = <.<. +h , .h >., normh>.
4	3	hhnv 10665	. . . . 5 |- U e. NrmCVec
5		hhssp3.3	. . . . 5 |- W e. (SubSp` U)
6	3	hh0v 10668	. . . . . 6 |- 0h = (0v` U)
7		eqid 1884	. . . . . 6 |- (0v` W) = (0v` W)
8		eqid 1884	. . . . . 6 |- (SubSp` U) = (SubSp` U)
9	6, 7, 8	sspz 9733	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. (SubSp` U)) -> (0v` W) = 0h)
10	4, 5, 9	mp2an 761	. . . 4 |- (0v` W) = 0h
11	8	sspnv 9724	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. (SubSp` U)) -> W e. NrmCVec)
12	4, 5, 11	mp2an 761	. . . . . 6 |- W e. NrmCVec
13		eqid 1884	. . . . . . 7 |- (BaseSet` W) = (BaseSet` W)
14	13, 7	nvzcl 9587	. . . . . 6 |- (W e. NrmCVec -> (0v` W) e. (BaseSet` W))
15	12, 14	ax-mp 7	. . . . 5 |- (0v` W) e. (BaseSet` W)
16		hhsst.2	. . . . . . 7 |- W = <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.
17	3, 16, 5, 2	hhshsslem1 10770	. . . . . 6 |- H = (BaseSet` W)
18	17	eqcomi 1888	. . . . 5 |- (BaseSet` W) = H
19	15, 18	eleqtri 1969	. . . 4 |- (0v` W) e. H
20	10, 19	eqeltrri 1968	. . 3 |- 0h e. H
21	2, 20	pm3.2i 307	. 2 |- (H C_ ~H /\ 0h e. H)
22	3	hhva 10666	. . . . . . 7 |- +h = (+v` U)
23		eqid 1884	. . . . . . 7 |- (+v` W) = (+v` W)
24	17, 22, 23, 8	sspgval 9727	. . . . . 6 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. (SubSp` U)) /\ (x e. H /\ y e. H)) -> (x(+v` W)y) = (x +h y))
25	4, 5, 24	mpanl12 773	. . . . 5 |- ((x e. H /\ y e. H) -> (x(+v` W)y) = (x +h y))
26	17, 23	nvgcl 9571	. . . . . 6 |- ((W e. NrmCVec /\ x e. H /\ y e. H) -> (x(+v` W)y) e. H)
27	12, 26	mp3an1 1178	. . . . 5 |- ((x e. H /\ y e. H) -> (x(+v` W)y) e. H)
28	25, 27	eqeltrrd 1972	. . . 4 |- ((x e. H /\ y e. H) -> (x +h y) e. H)
29	28	rgen2a 2160	. . 3 |- A.x e. H A.y e. H (x +h y) e. H
30	3	hhsm 10669	. . . . . . 7 |- .h = (.s` U)
31		eqid 1884	. . . . . . 7 |- (.s` W) = (.s` W)
32	17, 30, 31, 8	sspsval 9729	. . . . . 6 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. (SubSp` U)) /\ (x e. CC /\ y e. H)) -> (x(.s` W)y) = (x .h y))
33	4, 5, 32	mpanl12 773	. . . . 5 |- ((x e. CC /\ y e. H) -> (x(.s` W)y) = (x .h y))
34	17, 31	nvscl 9579	. . . . . 6 |- ((W e. NrmCVec /\ x e. CC /\ y e. H) -> (x(.s` W)y) e. H)
35	12, 34	mp3an1 1178	. . . . 5 |- ((x e. CC /\ y e. H) -> (x(.s` W)y) e. H)
36	33, 35	eqeltrrd 1972	. . . 4 |- ((x e. CC /\ y e. H) -> (x .h y) e. H)
37	36	rgen2 2186	. . 3 |- A.x e. CC A.y e. H (x .h y) e. H
38	29, 37	pm3.2i 307	. 2 |- (A.x e. H A.y e. H (x +h y) e. H /\ A.x e. CC A.y e. H (x .h y) e. H)
39	1, 21, 38	mpbir2an 800	1 |- H e. SH

Syntax hints:   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   C_ wss 2593  <.cop 3046   X. cxp 3984   |` cres 3988  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  NrmCVeccnv 9535  +vcpv 9536  BaseSetcba 9537  .scns 9538  0vcn0v 9539  SubSpcss 9719  ~Hchil 10420   +h cva 10421   .h csm 10422  0hc0v 10423  normhcno 10426  SHcsh 10429

This theorem is referenced by:  hhsssh 10772

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ssp 9720  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-sh 10709

Copyright terms: Public domain