HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhshsslem2 Structured version   Unicode version

Theorem hhshsslem2 26382
Description: Lemma for hhsssh 26383. (Contributed by NM, 6-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhsst.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
hhsst.2  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
hhssp3.3  |-  W  e.  ( SubSp `  U )
hhssp3.4  |-  H  C_  ~H
Assertion
Ref Expression
hhshsslem2  |-  H  e.  SH

Proof of Theorem hhshsslem2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hhssp3.4 . . 3  |-  H  C_  ~H
2 hhsst.1 . . . . . 6  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
32hhnv 26280 . . . . 5  |-  U  e.  NrmCVec
4 hhssp3.3 . . . . 5  |-  W  e.  ( SubSp `  U )
52hh0v 26283 . . . . . 6  |-  0h  =  ( 0vec `  U )
6 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( 0vec `  W )  =  (
0vec `  W )
7 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
85, 6, 7sspz 25846 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  ( 0vec `  W )  =  0h )
93, 4, 8mp2an 670 . . . 4  |-  ( 0vec `  W )  =  0h
107sspnv 25837 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  W  e.  NrmCVec )
113, 4, 10mp2an 670 . . . . . 6  |-  W  e.  NrmCVec
12 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
1312, 6nvzcl 25727 . . . . . 6  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  W
)  e.  ( BaseSet `  W ) )
1411, 13ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 0vec `  W )  e.  (
BaseSet `  W )
15 hhsst.2 . . . . . 6  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
162, 15, 4, 1hhshsslem1 26381 . . . . 5  |-  H  =  ( BaseSet `  W )
1714, 16eleqtrri 2541 . . . 4  |-  ( 0vec `  W )  e.  H
189, 17eqeltrri 2539 . . 3  |-  0h  e.  H
191, 18pm3.2i 453 . 2  |-  ( H 
C_  ~H  /\  0h  e.  H )
202hhva 26281 . . . . . . 7  |-  +h  =  ( +v `  U )
21 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( +v
`  W )  =  ( +v `  W
)
2216, 20, 21, 7sspgval 25840 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U ) )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  (
x ( +v `  W ) y )  =  ( x  +h  y ) )
233, 4, 22mpanl12 680 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( x ( +v
`  W ) y )  =  ( x  +h  y ) )
2416, 21nvgcl 25711 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  (
x ( +v `  W ) y )  e.  H )
2511, 24mp3an1 1309 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( x ( +v
`  W ) y )  e.  H )
2623, 25eqeltrrd 2543 . . . 4  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( x  +h  y
)  e.  H )
2726rgen2a 2881 . . 3  |-  A. x  e.  H  A. y  e.  H  ( x  +h  y )  e.  H
282hhsm 26284 . . . . . . 7  |-  .h  =  ( .sOLD `  U
)
29 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( .sOLD `  W )  =  ( .sOLD `  W )
3016, 28, 29, 7sspsval 25842 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U ) )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  H ) )  ->  ( x
( .sOLD `  W ) y )  =  ( x  .h  y ) )
313, 4, 30mpanl12 680 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  H )  ->  ( x ( .sOLD `  W ) y )  =  ( x  .h  y ) )
3216, 29nvscl 25719 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  H )  ->  (
x ( .sOLD `  W ) y )  e.  H )
3311, 32mp3an1 1309 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  H )  ->  ( x ( .sOLD `  W ) y )  e.  H
)
3431, 33eqeltrrd 2543 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  H )
3534rgen2 2879 . . 3  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  H  ( x  .h  y )  e.  H
3627, 35pm3.2i 453 . 2  |-  ( A. x  e.  H  A. y  e.  H  (
x  +h  y )  e.  H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  H  ( x  .h  y )  e.  H
)
37 issh2 26324 . 2  |-  ( H  e.  SH  <->  ( ( H  C_  ~H  /\  0h  e.  H )  /\  ( A. x  e.  H  A. y  e.  H  ( x  +h  y
)  e.  H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  H  (
x  .h  y )  e.  H ) ) )
3819, 36, 37mpbir2an 918 1  |-  H  e.  SH
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804    C_ wss 3461   <.cop 4022    X. cxp 4986    |` cres 4990   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   NrmCVeccnv 25675   +vcpv 25676   BaseSetcba 25677   .sOLDcns 25678   0veccn0v 25679   SubSpcss 25832   ~Hchil 26034    +h cva 26035    .h csm 26036   normhcno 26038   0hc0v 26039   SHcsh 26043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-hilex 26114  ax-hfvadd 26115  ax-hvcom 26116  ax-hvass 26117  ax-hv0cl 26118  ax-hvaddid 26119  ax-hfvmul 26120  ax-hvmulid 26121  ax-hvmulass 26122  ax-hvdistr1 26123  ax-hvdistr2 26124  ax-hvmul0 26125  ax-hfi 26194  ax-his1 26197  ax-his2 26198  ax-his3 26199  ax-his4 26200
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-grpo 25391  df-gid 25392  df-ginv 25393  df-gdiv 25394  df-ablo 25482  df-vc 25637  df-nv 25683  df-va 25686  df-ba 25687  df-sm 25688  df-0v 25689  df-vs 25690  df-nmcv 25691  df-ssp 25833  df-hnorm 26083  df-hvsub 26086  df-sh 26322
This theorem is referenced by:  hhsssh  26383
  Copyright terms: Public domain W3C validator