Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumdifsndf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumdifsndf 41937
 Description: Extract a summand from a finitely supported group sum. (Contributed by AV, 4-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumdifsndf.k 𝑘𝑌
gsumdifsndf.n 𝑘𝜑
gsumdifsndf.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumdifsndf.p + = (+g𝐺)
gsumdifsndf.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumdifsndf.a (𝜑𝐴𝑊)
gsumdifsndf.f (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp (0g𝐺))
gsumdifsndf.e ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
gsumdifsndf.m (𝜑𝑀𝐴)
gsumdifsndf.y (𝜑𝑌𝐵)
gsumdifsndf.s ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
Assertion
Ref Expression
gsumdifsndf (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   + (𝑘)   𝑊(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsumdifsndf
StepHypRef Expression
1 gsumdifsndf.n . . 3 𝑘𝜑
2 gsumdifsndf.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 eqid 2610 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4 gsumdifsndf.p . . 3 + = (+g𝐺)
5 gsumdifsndf.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
6 gsumdifsndf.a . . 3 (𝜑𝐴𝑊)
7 gsumdifsndf.e . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
8 gsumdifsndf.f . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp (0g𝐺))
9 difid 3902 . . . 4 ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ∅
10 gsumdifsndf.m . . . . . 6 (𝜑𝑀𝐴)
1110snssd 4281 . . . . 5 (𝜑 → {𝑀} ⊆ 𝐴)
12 difin2 3849 . . . . 5 ({𝑀} ⊆ 𝐴 → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∩ {𝑀}))
1311, 12syl 17 . . . 4 (𝜑 → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∩ {𝑀}))
149, 13syl5reqr 2659 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∩ {𝑀}) = ∅)
15 difsnid 4282 . . . . 5 (𝑀𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}) = 𝐴)
1610, 15syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}) = 𝐴)
1716eqcomd 2616 . . 3 (𝜑𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 17gsumsplit2f 41936 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))))
19 cmnmnd 18031 . . . . 5 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
205, 19syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
21 gsumdifsndf.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
22 gsumdifsndf.s . . . 4 ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
23 gsumdifsndf.k . . . 4 𝑘𝑌
242, 20, 10, 21, 22, 1, 23gsumsnfd 18174 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋)) = 𝑌)
2524oveq2d 6565 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + 𝑌))
2618, 25eqtrd 2644 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977  Ⅎwnfc 2738   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   finSupp cfsupp 8158  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923   Σg cgsu 15924  Mndcmnd 17117  CMndccmn 18016 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator