Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumdifsndf Structured version   Unicode version

Theorem gsumdifsndf 38907
Description: Extract a summand from a finitely supported group sum. (Contributed by AV, 4-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumdifsndf.k  |-  F/_ k Y
gsumdifsndf.n  |-  F/ k
ph
gsumdifsndf.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumdifsndf.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumdifsndf.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumdifsndf.a  |-  ( ph  ->  A  e.  W )
gsumdifsndf.f  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  X ) finSupp  ( 0g
`  G ) )
gsumdifsndf.e  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
gsumdifsndf.m  |-  ( ph  ->  M  e.  A )
gsumdifsndf.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
gsumdifsndf.s  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  X  =  Y )
Assertion
Ref Expression
gsumdifsndf  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( A  \  { M } )  |->  X ) )  .+  Y
) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, G    k, M
Allowed substitution hints:    ph( k)    .+ ( k)    W( k)    X( k)    Y( k)

Proof of Theorem gsumdifsndf
StepHypRef Expression
1 gsumdifsndf.n . . 3  |-  F/ k
ph
2 gsumdifsndf.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 eqid 2429 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
4 gsumdifsndf.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
5 gsumdifsndf.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
6 gsumdifsndf.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  W )
7 gsumdifsndf.e . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
8 gsumdifsndf.f . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  X ) finSupp  ( 0g
`  G ) )
9 difid 3869 . . . 4  |-  ( { M }  \  { M } )  =  (/)
10 gsumdifsndf.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  A )
1110snssd 4148 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { M }  C_  A )
12 difin2 3741 . . . . 5  |-  ( { M }  C_  A  ->  ( { M }  \  { M } )  =  ( ( A 
\  { M }
)  i^i  { M } ) )
1311, 12syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { M }  \  { M } )  =  ( ( A 
\  { M }
)  i^i  { M } ) )
149, 13syl5reqr 2485 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  \  { M } )  i^i 
{ M } )  =  (/) )
15 difsnid 4149 . . . . 5  |-  ( M  e.  A  ->  (
( A  \  { M } )  u.  { M } )  =  A )
1610, 15syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  \  { M } )  u. 
{ M } )  =  A )
1716eqcomd 2437 . . 3  |-  ( ph  ->  A  =  ( ( A  \  { M } )  u.  { M } ) )
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 17gsumsplit2f 38906 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( A  \  { M } )  |->  X ) )  .+  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) ) ) )
19 cmnmnd 17380 . . . . 5  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
205, 19syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
21 gsumdifsndf.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
22 gsumdifsndf.s . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  X  =  Y )
23 gsumdifsndf.k . . . 4  |-  F/_ k Y
242, 20, 10, 21, 22, 1, 23gsumsnfd 17519 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) )  =  Y )
2524oveq2d 6321 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( A  \  { M } )  |->  X ) )  .+  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( A  \  { M } )  |->  X ) )  .+  Y ) )
2618, 25eqtrd 2470 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( A  \  { M } )  |->  X ) )  .+  Y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437   F/wnf 1663    e. wcel 1870   F/_wnfc 2577    \ cdif 3439    u. cun 3440    i^i cin 3441    C_ wss 3442   (/)c0 3767   {csn 4002   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   finSupp cfsupp 7889   Basecbs 15084   +g cplusg 15152   0gc0g 15297    gsumg cgsu 15298   Mndcmnd 16486  CMndccmn 17365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator