Theorem evls1rhmlem 19507

Description: Lemma for evl1rhm 19517 and evls1rhm 19508 (formerly part of the proof of evl1rhm 19517): The first function of the composition forming the univariate polynomial evaluation map function for a (sub)ring is a ring homomorphism. (Contributed by AV, 11-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1rhmlem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1rhmlem.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ↑s 𝐵)
evl1rhmlem.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))

Assertion

Ref	Expression
evls1rhmlem	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐹 ∈ ((𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)) RingHom 𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑇

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑇(𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem evls1rhmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1rhmlem.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
2		ovex 6577	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ↑𝑚 1𝑜) ∈ V
3		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)) = (𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜))
4		evl1rhmlem.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5	3, 4	pwsbas 15970	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐵 ↑𝑚 1𝑜) ∈ V) → (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜))))
6	2, 5	mpan2 703	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜))))
7	6	mpteq1d 4666	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜))) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))))
8	1, 7	syl5eq 2656	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐹 = (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜))) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))))
9		evl1rhmlem.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ↑s 𝐵)
10		eqid 2610	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜))) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)))
11		crngring 18381	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
12		fvex 6113	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
13	4, 12	eqeltri 2684	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐵 ∈ V)
15	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝐵 ↑𝑚 1𝑜) ∈ V)
16		df1o2 7459	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 = {∅}
17		0ex 4718	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
18		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))
19	16, 13, 17, 18	mapsnf1o3 7792	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})):𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 1𝑜)
20		f1of 6050	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})):𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 1𝑜) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵 ↑𝑚 1𝑜))
21	19, 20	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵 ↑𝑚 1𝑜))
22	9, 3, 10, 11, 14, 15, 21	pwsco1rhm 18561	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜))) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))) ∈ ((𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)) RingHom 𝑇))
23	8, 22	eqeltrd 2688	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐹 ∈ ((𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)) RingHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {csn 4125   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1_𝑜c1o 7440   ↑_𝑚 cmap 7744  Basecbs 15695   ↑_s cpws 15930  CRingccrg 18371   RingHom crh 18535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-ghm 17481  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-rnghom 18538

This theorem is referenced by:  evls1rhm  19508  evl1rhm  19517