Theorem pwsco1rhm 18561

Description: Right composition with a function on the index sets yields a ring homomorphism of structure powers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsco1rhm.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐴)
pwsco1rhm.z	⊢ 𝑍 = (𝑅 ↑s 𝐵)
pwsco1rhm.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwsco1rhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
pwsco1rhm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
pwsco1rhm.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
pwsco1rhm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pwsco1rhm	⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 RingHom 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝐵,𝑔   𝜑,𝑔   𝑅,𝑔   𝑔,𝑌   𝐶,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem pwsco1rhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsco1rhm.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		pwsco1rhm.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		pwsco1rhm.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (𝑅 ↑s 𝐵)
4	3	pwsring 18438	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝑍 ∈ Ring)
5	1, 2, 4	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
6		pwsco1rhm.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		pwsco1rhm.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐴)
8	7	pwsring 18438	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ Ring)
9	1, 6, 8	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
10	5, 9	jca 553	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ Ring))
11		pwsco1rhm.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
12		ringmnd 18379	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
13	1, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
14		pwsco1rhm.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
15	7, 3, 11, 13, 6, 2, 14	pwsco1mhm 17193	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 MndHom 𝑌))
16		ringgrp 18375	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → 𝑍 ∈ Grp)
17	5, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Grp)
18		ringgrp 18375	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
19	9, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Grp)
20		ghmmhmb 17494	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ Grp) → (𝑍 GrpHom 𝑌) = (𝑍 MndHom 𝑌))
21	17, 19, 20	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 GrpHom 𝑌) = (𝑍 MndHom 𝑌))
22	15, 21	eleqtrrd 2691	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 GrpHom 𝑌))
23		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)
24		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)
25		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
26		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
27	26	ringmgp 18376	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
28	1, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
29	23, 24, 25, 28, 6, 2, 14	pwsco1mhm 17193	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
30		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31	3, 30	pwsbas 15970	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐵) = (Base‘𝑍))
32	13, 2, 31	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐵) = (Base‘𝑍))
33	32, 11	syl6eqr 2662	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐵) = 𝐶)
34	26, 30	mgpbas 18318	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
35	24, 34	pwsbas 15970	. . . . . . 7 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐵) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
36	28, 2, 35	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐵) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
37	33, 36	eqtr3d 2646	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
38	37	mpteq1d 4666	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) = (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)))
39		eqidd 2611	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍)))
40		eqidd 2611	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
41		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
42		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
43		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
44		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
45	3, 26, 24, 41, 42, 25, 43, 44	pwsmgp 18441	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
46	1, 2, 45	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
47	46	simpld 474	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
48		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
49		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌))
50		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
51		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(mulGrp‘𝑌))
52		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
53	7, 26, 23, 48, 49, 50, 51, 52	pwsmgp 18441	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
54	1, 6, 53	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
55	54	simpld 474	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
56	46	simprd 478	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
57	56	oveqdr 6573	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑍))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))𝑦))
58	54	simprd 478	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
59	58	oveqdr 6573	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))𝑦))
60	39, 40, 47, 55, 57, 59	mhmpropd 17164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌)) = (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
61	29, 38, 60	3eltr4d 2703	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌)))
62	22, 61	jca 553	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 GrpHom 𝑌) ∧ (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌))))
63	41, 48	isrhm 18544	. 2 ⊢ ((𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 RingHom 𝑌) ↔ ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ Ring) ∧ ((𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 GrpHom 𝑌) ∧ (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌)))))
64	10, 62, 63	sylanbrc 695	1 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 RingHom 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ↦ cmpt 4643   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768   ↑_s cpws 15930  Mndcmnd 17117   MndHom cmhm 17156  Grpcgrp 17245   GrpHom cghm 17480  mulGrpcmgp 18312  Ringcrg 18370   RingHom crh 18535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-ghm 17481  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-rnghom 18538

This theorem is referenced by:  evls1rhmlem  19507