MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1rhmlem Structured version   Unicode version

Theorem evls1rhmlem 17756
Description: Lemma for evl1rhm 17766 and evls1rhm 17757 (formerly part of the proof of evl1rhm 17766): The first function of the composition forming the univariate polynomial evaluation map function for a (sub)ring is a ring homomorphism. (Contributed by AV, 11-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1rhmlem.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
evl1rhmlem.t  |-  T  =  ( R  ^s  B )
evl1rhmlem.f  |-  F  =  ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
evls1rhmlem  |-  ( R  e.  CRing  ->  F  e.  ( ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) RingHom  T ) )
Distinct variable groups:    x, B, y    x, R    x, T
Allowed substitution hints:    R( y)    T( y)    F( x, y)

Proof of Theorem evls1rhmlem
StepHypRef Expression
1 evl1rhmlem.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )
2 ovex 6116 . . . . 5  |-  ( B  ^m  1o )  e. 
_V
3 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) )  =  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) )
4 evl1rhmlem.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
53, 4pwsbas 14425 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  ( B  ^m  1o )  e. 
_V )  ->  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  =  (
Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
62, 5mpan2 671 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  =  (
Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
76mpteq1d 4373 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  =  ( x  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) ) ) )
81, 7syl5eq 2487 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  F  =  ( x  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) ) )
9 evl1rhmlem.t . . 3  |-  T  =  ( R  ^s  B )
10 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )
11 crngrng 16655 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
12 fvex 5701 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  e.  _V
134, 12eqeltri 2513 . . . 4  |-  B  e. 
_V
1413a1i 11 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  B  e.  _V )
152a1i 11 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( B  ^m  1o )  e.  _V )
16 df1o2 6932 . . . . 5  |-  1o  =  { (/) }
17 0ex 4422 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
18 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) )
1916, 13, 17, 18mapsnf1o3 7261 . . . 4  |-  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) : B -1-1-onto-> ( B  ^m  1o )
20 f1of 5641 . . . 4  |-  ( ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) : B -1-1-onto-> ( B  ^m  1o )  ->  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) : B --> ( B  ^m  1o ) )
2119, 20mp1i 12 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) : B --> ( B  ^m  1o ) )
229, 3, 10, 11, 14, 15, 21pwsco1rhm 16826 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( x  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) ) )  e.  ( ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) RingHom  T ) )
238, 22eqeltrd 2517 1  |-  ( R  e.  CRing  ->  F  e.  ( ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) RingHom  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2972   (/)c0 3637   {csn 3877    e. cmpt 4350    X. cxp 4838    o. ccom 4844   -->wf 5414   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   1oc1o 6913    ^m cmap 7214   Basecbs 14174    ^s cpws 14385   CRingccrg 16646   RingHom crh 16804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-fz 11438  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-hom 14262  df-cco 14263  df-0g 14380  df-prds 14386  df-pws 14388  df-mnd 15415  df-mhm 15464  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-ghm 15745  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-cring 16648  df-rnghom 16806
This theorem is referenced by:  evls1rhm  17757  evl1rhm  17766
  Copyright terms: Public domain W3C validator