Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en2eqpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en2eqpr 8713
 Description: Building a set with two elements. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
en2eqpr ((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) → (𝐴𝐵𝐶 = {𝐴, 𝐵}))

Proof of Theorem en2eqpr
StepHypRef Expression
1 2onn 7607 . . . . . 6 2𝑜 ∈ ω
2 nnfi 8038 . . . . . 6 (2𝑜 ∈ ω → 2𝑜 ∈ Fin)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 2𝑜 ∈ Fin
4 simpl1 1057 . . . . 5 (((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 ≈ 2𝑜)
5 enfii 8062 . . . . 5 ((2𝑜 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≈ 2𝑜) → 𝐶 ∈ Fin)
63, 4, 5sylancr 694 . . . 4 (((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
7 simpl2 1058 . . . . 5 (((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐶)
8 simpl3 1059 . . . . 5 (((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐶)
9 prssi 4293 . . . . 5 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
107, 8, 9syl2anc 691 . . . 4 (((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
11 pr2nelem 8710 . . . . . . 7 ((𝐴𝐶𝐵𝐶𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)
12113expa 1257 . . . . . 6 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)
13123adantl1 1210 . . . . 5 (((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)
144ensymd 7893 . . . . 5 (((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → 2𝑜𝐶)
15 entr 7894 . . . . 5 (({𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜 ∧ 2𝑜𝐶) → {𝐴, 𝐵} ≈ 𝐶)
1613, 14, 15syl2anc 691 . . . 4 (((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 𝐶)
17 fisseneq 8056 . . . 4 ((𝐶 ∈ Fin ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝐵} ≈ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)
186, 10, 16, 17syl3anc 1318 . . 3 (((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)
1918eqcomd 2616 . 2 (((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 = {𝐴, 𝐵})
2019ex 449 1 ((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) → (𝐴𝐵𝐶 = {𝐴, 𝐵}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ⊆ wss 3540  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ωcom 6957  2𝑜c2o 7441   ≈ cen 7838  Fincfn 7841 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-1o 7447  df-2o 7448  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845 This theorem is referenced by:  en2top  20600
 Copyright terms: Public domain W3C validator