Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvres2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvres2 23482
 Description: Restriction of the base set of a derivative. The primary application of this theorem says that if a function is complex differentiable then it is also real differentiable. Unlike dvres 23481, there is no simple reverse relation relating real differentiable functions to complex differentiability, and indeed there are functions like ℜ(𝑥) which are everywhere real-differentiable but nowhere complex-differentiable.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvres2 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵) ⊆ (𝐵 D (𝐹𝐵)))

Proof of Theorem dvres2
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relres 5346 . . 3 Rel ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)
21a1i 11 . 2 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → Rel ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵))
3 eqid 2610 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4 eqid 2610 . . . . 5 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
5 eqid 2610 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
6 simp1l 1078 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦𝑥𝐵)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
7 simp1r 1079 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦𝑥𝐵)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
8 simp2l 1080 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦𝑥𝐵)) → 𝐴𝑆)
9 simp2r 1081 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦𝑥𝐵)) → 𝐵𝑆)
10 simp3l 1082 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦𝑥𝐵)) → 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
116, 7, 8dvcl 23469 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦𝑥𝐵)) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
1210, 11mpdan 699 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦𝑥𝐵)) → 𝑦 ∈ ℂ)
13 simp3r 1083 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦𝑥𝐵)) → 𝑥𝐵)
143, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 10, 13dvres2lem 23480 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦𝑥𝐵)) → 𝑥(𝐵 D (𝐹𝐵))𝑦)
15143expia 1259 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → ((𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦𝑥𝐵) → 𝑥(𝐵 D (𝐹𝐵))𝑦))
16 vex 3176 . . . . 5 𝑦 ∈ V
1716brres 5323 . . . 4 (𝑥((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦𝑥𝐵))
18 df-br 4584 . . . 4 (𝑥((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵))
1917, 18bitr3i 265 . . 3 ((𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦𝑥𝐵) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵))
20 df-br 4584 . . 3 (𝑥(𝐵 D (𝐹𝐵))𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 D (𝐹𝐵)))
2115, 19, 203imtr3g 283 . 2 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 D (𝐹𝐵))))
222, 21relssdv 5135 1 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵) ⊆ (𝐵 D (𝐹𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {csn 4125  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   ↾ cres 5040  Rel wrel 5043  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   − cmin 10145   / cdiv 10563   ↾t crest 15904  TopOpenctopn 15905  ℂfldccnfld 19567   D cdv 23433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-cnp 20842  df-xms 21935  df-ms 21936  df-limc 23436  df-dv 23437 This theorem is referenced by:  dvres3  23483  dvres3a  23484
 Copyright terms: Public domain W3C validator