Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dipdi 27082
 Description: Distributive law for inner product. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipdir.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
dipdir.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
dipdir.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
dipdi ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑃(𝐵𝐺𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐶)))

Proof of Theorem dipdi
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 ((𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋))
213com13 1262 . 2 ((𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋))
3 id 22 . . . . . 6 ((𝐵𝑋𝐶𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝑋𝐶𝑋𝐴𝑋))
433com12 1261 . . . . 5 ((𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝑋𝐶𝑋𝐴𝑋))
5 dipdir.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6 dipdir.2 . . . . . 6 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
7 dipdir.7 . . . . . 6 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
85, 6, 7dipdir 27081 . . . . 5 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋𝐴𝑋)) → ((𝐵𝐺𝐶)𝑃𝐴) = ((𝐵𝑃𝐴) + (𝐶𝑃𝐴)))
94, 8sylan2 490 . . . 4 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → ((𝐵𝐺𝐶)𝑃𝐴) = ((𝐵𝑃𝐴) + (𝐶𝑃𝐴)))
109fveq2d 6107 . . 3 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (∗‘((𝐵𝐺𝐶)𝑃𝐴)) = (∗‘((𝐵𝑃𝐴) + (𝐶𝑃𝐴))))
11 phnv 27053 . . . 4 (𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
12 simpl 472 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
135, 6nvgcl 26859 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐵𝐺𝐶) ∈ 𝑋)
14133com23 1263 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐺𝐶) ∈ 𝑋)
15143adant3r3 1268 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (𝐵𝐺𝐶) ∈ 𝑋)
16 simpr3 1062 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → 𝐴𝑋)
175, 7dipcj 26953 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵𝐺𝐶) ∈ 𝑋𝐴𝑋) → (∗‘((𝐵𝐺𝐶)𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃(𝐵𝐺𝐶)))
1812, 15, 16, 17syl3anc 1318 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (∗‘((𝐵𝐺𝐶)𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃(𝐵𝐺𝐶)))
1911, 18sylan 487 . . 3 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (∗‘((𝐵𝐺𝐶)𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃(𝐵𝐺𝐶)))
205, 7dipcl 26951 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ)
21203adant3r1 1266 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ)
225, 7dipcl 26951 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶𝑋𝐴𝑋) → (𝐶𝑃𝐴) ∈ ℂ)
23223adant3r2 1267 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (𝐶𝑃𝐴) ∈ ℂ)
2421, 23cjaddd 13808 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (∗‘((𝐵𝑃𝐴) + (𝐶𝑃𝐴))) = ((∗‘(𝐵𝑃𝐴)) + (∗‘(𝐶𝑃𝐴))))
255, 7dipcj 26953 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (∗‘(𝐵𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐵))
26253adant3r1 1266 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (∗‘(𝐵𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐵))
275, 7dipcj 26953 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶𝑋𝐴𝑋) → (∗‘(𝐶𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐶))
28273adant3r2 1267 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (∗‘(𝐶𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐶))
2926, 28oveq12d 6567 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → ((∗‘(𝐵𝑃𝐴)) + (∗‘(𝐶𝑃𝐴))) = ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐶)))
3024, 29eqtrd 2644 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (∗‘((𝐵𝑃𝐴) + (𝐶𝑃𝐴))) = ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐶)))
3111, 30sylan 487 . . 3 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (∗‘((𝐵𝑃𝐴) + (𝐶𝑃𝐴))) = ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐶)))
3210, 19, 313eqtr3d 2652 . 2 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (𝐴𝑃(𝐵𝐺𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐶)))
332, 32sylan2 490 1 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑃(𝐵𝐺𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐶)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   + caddc 9818  ∗ccj 13684  NrmCVeccnv 26823   +𝑣 cpv 26824  BaseSetcba 26825  ·𝑖OLDcdip 26939  CPreHilOLDccphlo 27051 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-nmcv 26839  df-dip 26940  df-ph 27052 This theorem is referenced by:  ip2dii  27083
 Copyright terms: Public domain W3C validator