Proof of Theorem difioo
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | incom 3767 |
. . . 4
⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = ((𝐵[,)𝐶) ∩ (𝐴(,)𝐵)) |
2 | | joiniooico 28926 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = ∅ ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐵[,)𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))) |
3 | 2 | anassrs 678 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = ∅ ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐵[,)𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))) |
4 | 3 | simpld 474 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = ∅) |
5 | 1, 4 | syl5eqr 2658 |
. . 3
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((𝐵[,)𝐶) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅) |
6 | 3 | simprd 478 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐵[,)𝐶)) = (𝐴(,)𝐶)) |
7 | | uncom 3719 |
. . . . 5
⊢ ((𝐵[,)𝐶) ∪ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐵[,)𝐶)) |
8 | 7 | a1i 11 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((𝐵[,)𝐶) ∪ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐵[,)𝐶))) |
9 | | simpll1 1093 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ∈
ℝ*) |
10 | | simpl3 1059 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐶 ∈
ℝ*) |
11 | 10 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈
ℝ*) |
12 | | xrleid 11859 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ ℝ*
→ 𝐴 ≤ 𝐴) |
13 | 9, 12 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐴) |
14 | | simpr 476 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐵 ≤ 𝐶) |
15 | | ioossioo 12136 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐶 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐶)) |
16 | 9, 11, 13, 14, 15 | syl22anc 1319 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐶)) |
17 | | ssequn2 3748 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐶) ↔ ((𝐴(,)𝐶) ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐶)) |
18 | 16, 17 | sylib 207 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((𝐴(,)𝐶) ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐶)) |
19 | 6, 8, 18 | 3eqtr4d 2654 |
. . 3
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((𝐵[,)𝐶) ∪ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝐴(,)𝐶) ∪ (𝐴(,)𝐵))) |
20 | | difeq 28739 |
. . 3
⊢ (((𝐴(,)𝐶) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐵[,)𝐶) ↔ (((𝐵[,)𝐶) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅ ∧ ((𝐵[,)𝐶) ∪ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝐴(,)𝐶) ∪ (𝐴(,)𝐵)))) |
21 | 5, 19, 20 | sylanbrc 695 |
. 2
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((𝐴(,)𝐶) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐵[,)𝐶)) |
22 | | simpll1 1093 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐴 ∈
ℝ*) |
23 | | simpl2 1058 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈
ℝ*) |
24 | 23 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐵 ∈
ℝ*) |
25 | 22, 12 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐴) |
26 | 10 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐶 ∈
ℝ*) |
27 | | simpr 476 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐶 < 𝐵) |
28 | | xrltle 11858 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐶 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) → (𝐶 < 𝐵 → 𝐶 ≤ 𝐵)) |
29 | 28 | imp 444 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐶 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐶 ≤ 𝐵) |
30 | 26, 24, 27, 29 | syl21anc 1317 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐶 ≤ 𝐵) |
31 | | ioossioo 12136 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)) → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) |
32 | 22, 24, 25, 30, 31 | syl22anc 1319 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 < 𝐵) → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) |
33 | | ssdif0 3896 |
. . . 4
⊢ ((𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴(,)𝐶) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = ∅) |
34 | 32, 33 | sylib 207 |
. . 3
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐶) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = ∅) |
35 | | ico0 12092 |
. . . . 5
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ 𝐶 ∈
ℝ*) → ((𝐵[,)𝐶) = ∅ ↔ 𝐶 ≤ 𝐵)) |
36 | 35 | biimpar 501 |
. . . 4
⊢ (((𝐵 ∈ ℝ*
∧ 𝐶 ∈
ℝ*) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (𝐵[,)𝐶) = ∅) |
37 | 24, 26, 30, 36 | syl21anc 1317 |
. . 3
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 < 𝐵) → (𝐵[,)𝐶) = ∅) |
38 | 34, 37 | eqtr4d 2647 |
. 2
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐶) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐵[,)𝐶)) |
39 | | xrlelttric 28906 |
. . 3
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ 𝐶 ∈
ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵)) |
40 | 23, 10, 39 | syl2anc 691 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵)) |
41 | 21, 38, 40 | mpjaodan 823 |
1
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐶) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐵[,)𝐶)) |