Theorem xrleid 11859

Description: 'Less than or equal to' is reflexive for extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
xrleid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem xrleid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2610	. . . 4 ⊢ 𝐴 = 𝐴
2	1	olci 405	. . 3 ⊢ (𝐴 < 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐴)
3		xrleloe 11853	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ (𝐴 < 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐴)))
4	2, 3	mpbiri 247	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ 𝐴)
5	4	anidms 675	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959

This theorem is referenced by:  xrmax1  11880  xrmax2  11881  xrmin1  11882  xrmin2  11883  xleadd1a  11955  xlemul1a  11990  supxrre  12029  infxrre  12038  iooid  12074  iccid  12091  icc0  12094  ubioc1  12098  lbico1  12099  lbicc2  12159  ubicc2  12160  snunioo  12169  snunico  12170  snunioc  12171  limsupgord  14051  limsupgre  14060  limsupbnd1  14061  limsupbnd2  14062  pcdvdstr  15418  pcadd  15431  ledm  17047  lern  17048  letsr  17050  imasdsf1olem  21988  blssps  22039  blss  22040  blcld  22120  nmolb  22331  xrsxmet  22420  metds0  22461  metdstri  22462  metdseq0  22465  ismbfd  23213  itg2eqa  23318  mdeglt  23629  deg1lt  23661  sizeusglecusg  26014  xraddge02  28911  eliccelico  28929  elicoelioo  28930  difioo  28934  xrstos  29010  xrge0omnd  29042  esumpmono  29468  signsply0  29954  elicc3  31481  ioounsn  36814  iocinico  36816  xreqle  38475  xadd0ge  38477  xrleidd  38551  snunioo2  38578  snunioo1  38585  limcresiooub  38709  ismbl4  38886  sge0prle  39294  iunhoiioo  39567  iccpartleu  39966  iccpartgel  39967