Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1le0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1le0 23675
 Description: A polynomial has nonpositive degree iff it is a constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1le0.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1le0.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1le0.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1le0.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
deg1le0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → ((𝐷𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = (𝐴‘((coe1𝐹)‘0))))

Proof of Theorem deg1le0
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . 3 (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
2 deg1le0.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
32deg1fval 23644 . . 3 𝐷 = (1𝑜 mDeg 𝑅)
4 1on 7454 . . . 4 1𝑜 ∈ On
54a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → 1𝑜 ∈ On)
6 simpl 472 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
7 deg1le0.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
8 eqid 2610 . . . 4 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
9 deg1le0.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
107, 8, 9ply1bas 19386 . . 3 𝐵 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
11 deg1le0.a . . . 4 𝐴 = (algSc‘𝑃)
127, 11ply1ascl 19449 . . 3 𝐴 = (algSc‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
13 simpr 476 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → 𝐹𝐵)
141, 3, 5, 6, 10, 12, 13mdegle0 23641 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → ((𝐷𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(1𝑜 × {0})))))
15 0nn0 11184 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
16 eqid 2610 . . . . . 6 (coe1𝐹) = (coe1𝐹)
1716coe1fv 19397 . . . . 5 ((𝐹𝐵 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1𝐹)‘0) = (𝐹‘(1𝑜 × {0})))
1813, 15, 17sylancl 693 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → ((coe1𝐹)‘0) = (𝐹‘(1𝑜 × {0})))
1918fveq2d 6107 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐴‘((coe1𝐹)‘0)) = (𝐴‘(𝐹‘(1𝑜 × {0}))))
2019eqeq2d 2620 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐹 = (𝐴‘((coe1𝐹)‘0)) ↔ 𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(1𝑜 × {0})))))
2114, 20bitr4d 270 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → ((𝐷𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = (𝐴‘((coe1𝐹)‘0))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {csn 4125   class class class wbr 4583   × cxp 5036  Oncon0 5640  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1𝑜c1o 7440  0cc0 9815   ≤ cle 9954  ℕ0cn0 11169  Basecbs 15695  Ringcrg 18370  algSccascl 19132   mPoly cmpl 19174  PwSer1cps1 19366  Poly1cpl1 19368  coe1cco1 19369   deg1 cdg1 23618 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-subrg 18601  df-ascl 19135  df-psr 19177  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-ply1 19373  df-coe1 19374  df-cnfld 19568  df-mdeg 23619  df-deg1 23620 This theorem is referenced by:  deg1sclle  23676  ply1rem  23727  fta1g  23731
 Copyright terms: Public domain W3C validator