MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1le0 Structured version   Unicode version

Theorem deg1le0 22937
Description: A polynomial has nonpositive degree iff it is a constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1le0.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1le0.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1le0.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
deg1le0.a  |-  A  =  (algSc `  P )
Assertion
Ref Expression
deg1le0  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  (
( D `  F
)  <_  0  <->  F  =  ( A `  ( (coe1 `  F ) `  0
) ) ) )

Proof of Theorem deg1le0
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . . 3  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
2 deg1le0.d . . . 4  |-  D  =  ( deg1  `  R )
32deg1fval 22906 . . 3  |-  D  =  ( 1o mDeg  R )
4 1on 7197 . . . 4  |-  1o  e.  On
54a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  1o  e.  On )
6 simpl 458 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
7 deg1le0.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
8 eqid 2429 . . . 4  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
9 deg1le0.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
107, 8, 9ply1bas 18723 . . 3  |-  B  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
11 deg1le0.a . . . 4  |-  A  =  (algSc `  P )
127, 11ply1ascl 18786 . . 3  |-  A  =  (algSc `  ( 1o mPoly  R ) )
13 simpr 462 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  F  e.  B )
141, 3, 5, 6, 10, 12, 13mdegle0 22903 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  (
( D `  F
)  <_  0  <->  F  =  ( A `  ( F `
 ( 1o  X.  { 0 } ) ) ) ) )
15 0nn0 10884 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
16 eqid 2429 . . . . . 6  |-  (coe1 `  F
)  =  (coe1 `  F
)
1716coe1fv 18734 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  B  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( (coe1 `  F ) ` 
0 )  =  ( F `  ( 1o 
X.  { 0 } ) ) )
1813, 15, 17sylancl 666 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  (
(coe1 `  F ) ` 
0 )  =  ( F `  ( 1o 
X.  { 0 } ) ) )
1918fveq2d 5885 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  ( A `  ( (coe1 `  F ) `  0
) )  =  ( A `  ( F `
 ( 1o  X.  { 0 } ) ) ) )
2019eqeq2d 2443 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  ( F  =  ( A `  ( (coe1 `  F ) ` 
0 ) )  <->  F  =  ( A `  ( F `
 ( 1o  X.  { 0 } ) ) ) ) )
2114, 20bitr4d 259 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  (
( D `  F
)  <_  0  <->  F  =  ( A `  ( (coe1 `  F ) `  0
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   {csn 4002   class class class wbr 4426    X. cxp 4852   Oncon0 5442   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   1oc1o 7183   0cc0 9538    <_ cle 9675   NN0cn0 10869   Basecbs 15084   Ringcrg 17715  algSccascl 18470   mPoly cmpl 18512  PwSer1cps1 18703  Poly1cpl1 18705  coe1cco1 18706   deg1 cdg1 22880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-ghm 16832  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-cring 17718  df-subrg 17941  df-ascl 18473  df-psr 18515  df-mpl 18517  df-opsr 18519  df-psr1 18708  df-ply1 18710  df-coe1 18711  df-cnfld 18906  df-mdeg 22881  df-deg1 22882
This theorem is referenced by:  deg1sclle  22938  ply1rem  22989  fta1g  22993
  Copyright terms: Public domain W3C validator