MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1le0 Structured version   Unicode version

Theorem deg1le0 21581
Description: A polynomial has nonpositive degree iff it is a constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1le0.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1le0.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1le0.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
deg1le0.a  |-  A  =  (algSc `  P )
Assertion
Ref Expression
deg1le0  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  (
( D `  F
)  <_  0  <->  F  =  ( A `  ( (coe1 `  F ) `  0
) ) ) )

Proof of Theorem deg1le0
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . 3  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
2 deg1le0.d . . . 4  |-  D  =  ( deg1  `  R )
32deg1fval 21549 . . 3  |-  D  =  ( 1o mDeg  R )
4 1on 6925 . . . 4  |-  1o  e.  On
54a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  1o  e.  On )
6 simpl 457 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
7 deg1le0.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
8 eqid 2441 . . . 4  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
9 deg1le0.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
107, 8, 9ply1bas 17649 . . 3  |-  B  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
11 deg1le0.a . . . 4  |-  A  =  (algSc `  P )
127, 11ply1ascl 17710 . . 3  |-  A  =  (algSc `  ( 1o mPoly  R ) )
13 simpr 461 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  F  e.  B )
141, 3, 5, 6, 10, 12, 13mdegle0 21546 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  (
( D `  F
)  <_  0  <->  F  =  ( A `  ( F `
 ( 1o  X.  { 0 } ) ) ) ) )
15 0nn0 10592 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
16 eqid 2441 . . . . . 6  |-  (coe1 `  F
)  =  (coe1 `  F
)
1716coe1fv 17660 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  B  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( (coe1 `  F ) ` 
0 )  =  ( F `  ( 1o 
X.  { 0 } ) ) )
1813, 15, 17sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  (
(coe1 `  F ) ` 
0 )  =  ( F `  ( 1o 
X.  { 0 } ) ) )
1918fveq2d 5693 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  ( A `  ( (coe1 `  F ) `  0
) )  =  ( A `  ( F `
 ( 1o  X.  { 0 } ) ) ) )
2019eqeq2d 2452 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  ( F  =  ( A `  ( (coe1 `  F ) ` 
0 ) )  <->  F  =  ( A `  ( F `
 ( 1o  X.  { 0 } ) ) ) ) )
2114, 20bitr4d 256 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  (
( D `  F
)  <_  0  <->  F  =  ( A `  ( (coe1 `  F ) `  0
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {csn 3875   class class class wbr 4290   Oncon0 4717    X. cxp 4836   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   1oc1o 6911   0cc0 9280    <_ cle 9417   NN0cn0 10577   Basecbs 14172   Ringcrg 16643  algSccascl 17381   mPoly cmpl 17418  PwSer1cps1 17629  Poly1cpl1 17631  coe1cco1 17632   deg1 cdg1 21521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358  ax-addf 9359  ax-mulf 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-iin 4172  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-ofr 6319  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-supp 6689  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-2o 6919  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-pm 7215  df-ixp 7262  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fsupp 7619  df-sup 7689  df-oi 7722  df-card 8107  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-10 10386  df-n0 10578  df-z 10645  df-dec 10754  df-uz 10860  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-seq 11805  df-hash 12102  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-starv 14251  df-sca 14252  df-vsca 14253  df-tset 14255  df-ple 14256  df-ds 14258  df-unif 14259  df-0g 14378  df-gsum 14379  df-mre 14522  df-mrc 14523  df-acs 14525  df-mnd 15413  df-mhm 15462  df-submnd 15463  df-grp 15543  df-minusg 15544  df-mulg 15546  df-subg 15676  df-ghm 15743  df-cntz 15833  df-cmn 16277  df-abl 16278  df-mgp 16590  df-ur 16602  df-rng 16645  df-cring 16646  df-subrg 16861  df-ascl 17384  df-psr 17421  df-mpl 17423  df-opsr 17425  df-psr1 17634  df-ply1 17636  df-coe1 17637  df-cnfld 17817  df-mdeg 21522  df-deg1 21523
This theorem is referenced by:  deg1sclle  21582  ply1rem  21633  fta1g  21637
  Copyright terms: Public domain W3C validator