Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cph2ass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cph2ass 22821
 Description: Move scalar multiplication to outside of inner product. See his35 27329. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h , = (·𝑖𝑊)
cphipcj.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphass.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphass.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
cphass.s · = ( ·𝑠𝑊)
Assertion
Ref Expression
cph2ass ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ((𝐴 · 𝐶) , (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐴 · (∗‘𝐵)) · (𝐶 , 𝐷)))

Proof of Theorem cph2ass
StepHypRef Expression
1 simp1 1054 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
2 simp2r 1081 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → 𝐵𝐾)
3 simp3l 1082 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → 𝐶𝑉)
4 simp3r 1083 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → 𝐷𝑉)
5 cphipcj.h . . . . 5 , = (·𝑖𝑊)
6 cphipcj.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
7 cphass.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8 cphass.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
9 cphass.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
105, 6, 7, 8, 9cphassr 22820 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐵𝐾𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (𝐶 , (𝐵 · 𝐷)) = ((∗‘𝐵) · (𝐶 , 𝐷)))
111, 2, 3, 4, 10syl13anc 1320 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (𝐶 , (𝐵 · 𝐷)) = ((∗‘𝐵) · (𝐶 , 𝐷)))
1211oveq2d 6565 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (𝐴 · (𝐶 , (𝐵 · 𝐷))) = (𝐴 · ((∗‘𝐵) · (𝐶 , 𝐷))))
13 simp2l 1080 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → 𝐴𝐾)
14 cphlmod 22782 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
15143ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
166, 7, 9, 8lmodvscl 18703 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐾𝐷𝑉) → (𝐵 · 𝐷) ∈ 𝑉)
1715, 2, 4, 16syl3anc 1318 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (𝐵 · 𝐷) ∈ 𝑉)
185, 6, 7, 8, 9cphass 22819 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐶𝑉 ∧ (𝐵 · 𝐷) ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝐶) , (𝐵 · 𝐷)) = (𝐴 · (𝐶 , (𝐵 · 𝐷))))
191, 13, 3, 17, 18syl13anc 1320 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ((𝐴 · 𝐶) , (𝐵 · 𝐷)) = (𝐴 · (𝐶 , (𝐵 · 𝐷))))
20 cphclm 22797 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
21203ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
227, 8clmsscn 22687 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
2321, 22syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → 𝐾 ⊆ ℂ)
2423, 13sseldd 3569 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2523, 2sseldd 3569 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → 𝐵 ∈ ℂ)
2625cjcld 13784 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
276, 5cphipcl 22799 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐶𝑉𝐷𝑉) → (𝐶 , 𝐷) ∈ ℂ)
28273expb 1258 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (𝐶 , 𝐷) ∈ ℂ)
29283adant2 1073 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (𝐶 , 𝐷) ∈ ℂ)
3024, 26, 29mulassd 9942 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ((𝐴 · (∗‘𝐵)) · (𝐶 , 𝐷)) = (𝐴 · ((∗‘𝐵) · (𝐶 , 𝐷))))
3112, 19, 303eqtr4d 2654 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ((𝐴 · 𝐶) , (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐴 · (∗‘𝐵)) · (𝐶 , 𝐷)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   · cmul 9820  ∗ccj 13684  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  ·𝑖cip 15773  LModclmod 18686  ℂModcclm 22670  ℂPreHilccph 22774 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-rnghom 18538  df-drng 18572  df-subrg 18601  df-staf 18668  df-srng 18669  df-lmod 18688  df-lmhm 18843  df-lvec 18924  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-cnfld 19568  df-phl 19790  df-nlm 22201  df-clm 22671  df-cph 22776 This theorem is referenced by:  pjthlem1  23016
 Copyright terms: Public domain W3C validator