Theorem constr2spthlem1 26124

Description: Lemma 1 for constr2spth 26130. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Jan-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
2pth.p	⊢ 𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}

Assertion

Ref	Expression
constr2spthlem1	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → Fun ◡𝑃)

Proof of Theorem constr2spthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 11265	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		1z 11284	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		2z 11286	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1232	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		funtpg 5856	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → Fun {⟨𝐴, 0⟩, ⟨𝐵, 1⟩, ⟨𝐶, 2⟩})
6	4, 5	mp3an2 1404	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → Fun {⟨𝐴, 0⟩, ⟨𝐵, 1⟩, ⟨𝐶, 2⟩})
7		cnvun 5457	. . . . . . . 8 ⊢ ◡({⟨0, 𝐴⟩} ∪ {⟨1, 𝐵⟩}) = (◡{⟨0, 𝐴⟩} ∪ ◡{⟨1, 𝐵⟩})
8	1	jctl 562	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
9	8	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
10		cnvsng 5539	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ◡{⟨0, 𝐴⟩} = {⟨𝐴, 0⟩})
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ◡{⟨0, 𝐴⟩} = {⟨𝐴, 0⟩})
12	2	jctl 562	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
13	12	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
14		cnvsng 5539	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ◡{⟨1, 𝐵⟩} = {⟨𝐵, 1⟩})
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ◡{⟨1, 𝐵⟩} = {⟨𝐵, 1⟩})
16	11, 15	uneq12d 3730	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (◡{⟨0, 𝐴⟩} ∪ ◡{⟨1, 𝐵⟩}) = ({⟨𝐴, 0⟩} ∪ {⟨𝐵, 1⟩}))
17	7, 16	syl5eq 2656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ◡({⟨0, 𝐴⟩} ∪ {⟨1, 𝐵⟩}) = ({⟨𝐴, 0⟩} ∪ {⟨𝐵, 1⟩}))
18		df-pr 4128	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} = ({⟨0, 𝐴⟩} ∪ {⟨1, 𝐵⟩})
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} = ({⟨0, 𝐴⟩} ∪ {⟨1, 𝐵⟩}))
20	19	cnveqd 5220	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ◡{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} = ◡({⟨0, 𝐴⟩} ∪ {⟨1, 𝐵⟩}))
21		df-pr 4128	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨𝐴, 0⟩, ⟨𝐵, 1⟩} = ({⟨𝐴, 0⟩} ∪ {⟨𝐵, 1⟩})
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → {⟨𝐴, 0⟩, ⟨𝐵, 1⟩} = ({⟨𝐴, 0⟩} ∪ {⟨𝐵, 1⟩}))
23	17, 20, 22	3eqtr4d 2654	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ◡{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} = {⟨𝐴, 0⟩, ⟨𝐵, 1⟩})
24	3	jctl 562	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
25	24	3ad2ant3 1077	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
26		cnvsng 5539	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ◡{⟨2, 𝐶⟩} = {⟨𝐶, 2⟩})
27	25, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ◡{⟨2, 𝐶⟩} = {⟨𝐶, 2⟩})
28	23, 27	uneq12d 3730	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (◡{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ ◡{⟨2, 𝐶⟩}) = ({⟨𝐴, 0⟩, ⟨𝐵, 1⟩} ∪ {⟨𝐶, 2⟩}))
29		2pth.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}
30	29	cnveqi 5219	. . . . . 6 ⊢ ◡𝑃 = ◡{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}
31		df-tp 4130	. . . . . . 7 ⊢ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩})
32	31	cnveqi 5219	. . . . . 6 ⊢ ◡{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} = ◡({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩})
33		cnvun 5457	. . . . . 6 ⊢ ◡({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩}) = (◡{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ ◡{⟨2, 𝐶⟩})
34	30, 32, 33	3eqtri 2636	. . . . 5 ⊢ ◡𝑃 = (◡{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ ◡{⟨2, 𝐶⟩})
35		df-tp 4130	. . . . 5 ⊢ {⟨𝐴, 0⟩, ⟨𝐵, 1⟩, ⟨𝐶, 2⟩} = ({⟨𝐴, 0⟩, ⟨𝐵, 1⟩} ∪ {⟨𝐶, 2⟩})
36	28, 34, 35	3eqtr4g 2669	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ◡𝑃 = {⟨𝐴, 0⟩, ⟨𝐵, 1⟩, ⟨𝐶, 2⟩})
37	36	funeqd 5825	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (Fun ◡𝑃 ↔ Fun {⟨𝐴, 0⟩, ⟨𝐵, 1⟩, ⟨𝐶, 2⟩}))
38	37	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (Fun ◡𝑃 ↔ Fun {⟨𝐴, 0⟩, ⟨𝐵, 1⟩, ⟨𝐶, 2⟩}))
39	6, 38	mpbird 246	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → Fun ◡𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∪ cun 3538  {csn 4125  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131  ^◡ccnv 5037  Fun wfun 5798  0cc0 9815  1c1 9816  2c2 10947  ℤcz 11254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-z 11255

This theorem is referenced by:  constr2spth  26130