Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr2spthlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem constr2spthlem1 26124
 Description: Lemma 1 for constr2spth 26130. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
2pth.p 𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}
Assertion
Ref Expression
constr2spthlem1 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) → Fun 𝑃)

Proof of Theorem constr2spthlem1
StepHypRef Expression
1 0z 11265 . . . 4 0 ∈ ℤ
2 1z 11284 . . . 4 1 ∈ ℤ
3 2z 11286 . . . 4 2 ∈ ℤ
41, 2, 33pm3.2i 1232 . . 3 (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5 funtpg 5856 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) → Fun {⟨𝐴, 0⟩, ⟨𝐵, 1⟩, ⟨𝐶, 2⟩})
64, 5mp3an2 1404 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) → Fun {⟨𝐴, 0⟩, ⟨𝐵, 1⟩, ⟨𝐶, 2⟩})
7 cnvun 5457 . . . . . . . 8 ({⟨0, 𝐴⟩} ∪ {⟨1, 𝐵⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩} ∪ {⟨1, 𝐵⟩})
81jctl 562 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑉 → (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑉))
983ad2ant1 1075 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑉))
10 cnvsng 5539 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑉) → {⟨0, 𝐴⟩} = {⟨𝐴, 0⟩})
119, 10syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → {⟨0, 𝐴⟩} = {⟨𝐴, 0⟩})
122jctl 562 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝑉 → (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑉))
13123ad2ant2 1076 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑉))
14 cnvsng 5539 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑉) → {⟨1, 𝐵⟩} = {⟨𝐵, 1⟩})
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → {⟨1, 𝐵⟩} = {⟨𝐵, 1⟩})
1611, 15uneq12d 3730 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ({⟨0, 𝐴⟩} ∪ {⟨1, 𝐵⟩}) = ({⟨𝐴, 0⟩} ∪ {⟨𝐵, 1⟩}))
177, 16syl5eq 2656 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ({⟨0, 𝐴⟩} ∪ {⟨1, 𝐵⟩}) = ({⟨𝐴, 0⟩} ∪ {⟨𝐵, 1⟩}))
18 df-pr 4128 . . . . . . . . 9 {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} = ({⟨0, 𝐴⟩} ∪ {⟨1, 𝐵⟩})
1918a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} = ({⟨0, 𝐴⟩} ∪ {⟨1, 𝐵⟩}))
2019cnveqd 5220 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} = ({⟨0, 𝐴⟩} ∪ {⟨1, 𝐵⟩}))
21 df-pr 4128 . . . . . . . 8 {⟨𝐴, 0⟩, ⟨𝐵, 1⟩} = ({⟨𝐴, 0⟩} ∪ {⟨𝐵, 1⟩})
2221a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → {⟨𝐴, 0⟩, ⟨𝐵, 1⟩} = ({⟨𝐴, 0⟩} ∪ {⟨𝐵, 1⟩}))
2317, 20, 223eqtr4d 2654 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} = {⟨𝐴, 0⟩, ⟨𝐵, 1⟩})
243jctl 562 . . . . . . . 8 (𝐶𝑉 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐶𝑉))
25243ad2ant3 1077 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐶𝑉))
26 cnvsng 5539 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐶𝑉) → {⟨2, 𝐶⟩} = {⟨𝐶, 2⟩})
2725, 26syl 17 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → {⟨2, 𝐶⟩} = {⟨𝐶, 2⟩})
2823, 27uneq12d 3730 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩}) = ({⟨𝐴, 0⟩, ⟨𝐵, 1⟩} ∪ {⟨𝐶, 2⟩}))
29 2pth.p . . . . . . 7 𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}
3029cnveqi 5219 . . . . . 6 𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}
31 df-tp 4130 . . . . . . 7 {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩})
3231cnveqi 5219 . . . . . 6 {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩})
33 cnvun 5457 . . . . . 6 ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩})
3430, 32, 333eqtri 2636 . . . . 5 𝑃 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩})
35 df-tp 4130 . . . . 5 {⟨𝐴, 0⟩, ⟨𝐵, 1⟩, ⟨𝐶, 2⟩} = ({⟨𝐴, 0⟩, ⟨𝐵, 1⟩} ∪ {⟨𝐶, 2⟩})
3628, 34, 353eqtr4g 2669 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → 𝑃 = {⟨𝐴, 0⟩, ⟨𝐵, 1⟩, ⟨𝐶, 2⟩})
3736funeqd 5825 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (Fun 𝑃 ↔ Fun {⟨𝐴, 0⟩, ⟨𝐵, 1⟩, ⟨𝐶, 2⟩}))
3837adantr 480 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (Fun 𝑃 ↔ Fun {⟨𝐴, 0⟩, ⟨𝐵, 1⟩, ⟨𝐶, 2⟩}))
396, 38mpbird 246 1 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) → Fun 𝑃)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∪ cun 3538  {csn 4125  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131  ◡ccnv 5037  Fun wfun 5798  0cc0 9815  1c1 9816  2c2 10947  ℤcz 11254 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-z 11255 This theorem is referenced by:  constr2spth  26130
 Copyright terms: Public domain W3C validator