Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funtpg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funtpg 5856
 Description: A set of three pairs is a function if their first members are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Dec-2017.) (Proof shortened by JJ, 14-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
funtpg (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → Fun {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩})

Proof of Theorem funtpg
StepHypRef Expression
1 3simpa 1051 . . . 4 ((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) → (𝑋𝑈𝑌𝑉))
2 3simpa 1051 . . . 4 ((𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) → (𝐴𝐹𝐵𝐺))
3 simp1 1054 . . . 4 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → 𝑋𝑌)
4 funprg 5854 . . . 4 (((𝑋𝑈𝑌𝑉) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺) ∧ 𝑋𝑌) → Fun {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩})
51, 2, 3, 4syl3an 1360 . . 3 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → Fun {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩})
6 simp3 1056 . . . . 5 ((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) → 𝑍𝑊)
7 simp3 1056 . . . . 5 ((𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) → 𝐶𝐻)
8 funsng 5851 . . . . 5 ((𝑍𝑊𝐶𝐻) → Fun {⟨𝑍, 𝐶⟩})
96, 7, 8syl2an 493 . . . 4 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻)) → Fun {⟨𝑍, 𝐶⟩})
1093adant3 1074 . . 3 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → Fun {⟨𝑍, 𝐶⟩})
11 dmpropg 5526 . . . . . . 7 ((𝐴𝐹𝐵𝐺) → dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} = {𝑋, 𝑌})
12 dmsnopg 5524 . . . . . . 7 (𝐶𝐻 → dom {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {𝑍})
1311, 12ineqan12d 3778 . . . . . 6 (((𝐴𝐹𝐵𝐺) ∧ 𝐶𝐻) → (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∩ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩}) = ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}))
14133impa 1251 . . . . 5 ((𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) → (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∩ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩}) = ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}))
15 disjprsn 4196 . . . . . 6 ((𝑋𝑍𝑌𝑍) → ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅)
16153adant1 1072 . . . . 5 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅)
1714, 16sylan9eq 2664 . . . 4 (((𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∩ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩}) = ∅)
18173adant1 1072 . . 3 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∩ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩}) = ∅)
19 funun 5846 . . 3 (((Fun {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∧ Fun {⟨𝑍, 𝐶⟩}) ∧ (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∩ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩}) = ∅) → Fun ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}))
205, 10, 18, 19syl21anc 1317 . 2 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → Fun ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}))
21 df-tp 4130 . . 3 {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} = ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩})
2221funeqi 5824 . 2 (Fun {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} ↔ Fun ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}))
2320, 22sylibr 223 1 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → Fun {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131  dom cdm 5038  Fun wfun 5798 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-fun 5806 This theorem is referenced by:  fntpg  5862  estrres  16602  constr2spthlem1  26124
 Copyright terms: Public domain W3C validator