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Theorem estrres 16602
 Description: Any restriction of a category (as an extensible structure which is an unordered triple of ordered pairs) is an unordered triple of ordered pairs. (Contributed by AV, 15-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
estrres.c (𝜑𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
estrres.b (𝜑𝐵𝑉)
estrres.h (𝜑𝐻𝑋)
estrres.x (𝜑·𝑌)
estrres.a (𝜑𝐴𝑈)
estrres.g (𝜑𝐺𝑊)
estrres.u (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
estrres (𝜑 → ((𝐶s 𝐴) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})

Proof of Theorem estrres
StepHypRef Expression
1 ovex 6577 . . 3 (𝐶s 𝐴) ∈ V
2 estrres.g . . 3 (𝜑𝐺𝑊)
3 setsval 15720 . . 3 (((𝐶s 𝐴) ∈ V ∧ 𝐺𝑊) → ((𝐶s 𝐴) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩) = (((𝐶s 𝐴) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}))
41, 2, 3sylancr 694 . 2 (𝜑 → ((𝐶s 𝐴) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩) = (((𝐶s 𝐴) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}))
5 eqid 2610 . . . . . 6 (𝐶s 𝐴) = (𝐶s 𝐴)
6 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
7 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘ndx) = (Base‘ndx)
8 estrres.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
9 tpex 6855 . . . . . . 7 {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} ∈ V
108, 9syl6eqel 2696 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ V)
11 fvex 6113 . . . . . . . . . 10 (Base‘ndx) ∈ V
12 fvex 6113 . . . . . . . . . 10 (Hom ‘ndx) ∈ V
13 fvex 6113 . . . . . . . . . 10 (comp‘ndx) ∈ V
1411, 12, 133pm3.2i 1232 . . . . . . . . 9 ((Base‘ndx) ∈ V ∧ (Hom ‘ndx) ∈ V ∧ (comp‘ndx) ∈ V)
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Base‘ndx) ∈ V ∧ (Hom ‘ndx) ∈ V ∧ (comp‘ndx) ∈ V))
16 estrres.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑉)
17 estrres.h . . . . . . . 8 (𝜑𝐻𝑋)
18 estrres.x . . . . . . . 8 (𝜑·𝑌)
19 slotsbhcdif 15903 . . . . . . . . 9 ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)))
21 funtpg 5856 . . . . . . . 8 ((((Base‘ndx) ∈ V ∧ (Hom ‘ndx) ∈ V ∧ (comp‘ndx) ∈ V) ∧ (𝐵𝑉𝐻𝑋·𝑌) ∧ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))) → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
2215, 16, 17, 18, 20, 21syl131anc 1331 . . . . . . 7 (𝜑 → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
238funeqd 5825 . . . . . . 7 (𝜑 → (Fun 𝐶 ↔ Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩}))
2422, 23mpbird 246 . . . . . 6 (𝜑 → Fun 𝐶)
258, 16, 17, 18estrreslem2 16601 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐶)
26 estrres.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑈)
27 estrres.u . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
288, 16estrreslem1 16600 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐶))
2927, 28sseqtrd 3604 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ (Base‘𝐶))
305, 6, 7, 10, 24, 25, 26, 29ressval3d 15764 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶s 𝐴) = (𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩))
3130reseq1d 5316 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶s 𝐴) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) = ((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})))
3231uneq1d 3728 . . 3 (𝜑 → (((𝐶s 𝐴) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = (((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}))
33 setsval 15720 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐴𝑈) → (𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) = ((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}))
3410, 26, 33syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) = ((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}))
3534reseq1d 5316 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) = (((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})))
3612a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Hom ‘ndx) ∈ V)
3713a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (comp‘ndx) ∈ V)
38 elex 3185 . . . . . . . . . . 11 (𝐻𝑋𝐻 ∈ V)
3917, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 ∈ V)
40 elex 3185 . . . . . . . . . . 11 ( ·𝑌· ∈ V)
4118, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑· ∈ V)
42 simp1 1054 . . . . . . . . . . . 12 (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
4342necomd 2837 . . . . . . . . . . 11 (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (Hom ‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
4419, 43mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Hom ‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
45 simp2 1055 . . . . . . . . . . . 12 (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
4645necomd 2837 . . . . . . . . . . 11 (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (comp‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
4719, 46mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (comp‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
488, 36, 37, 39, 41, 44, 47tpres 6371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) = {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
4948uneq1d 3728 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}) = ({⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}))
50 df-tp 4130 . . . . . . . 8 {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} = ({⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩})
5149, 50syl6eqr 2662 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}) = {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩})
5211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ V)
5316, 27ssexd 4733 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ V)
54 simp3 1056 . . . . . . . . 9 (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
5554necomd 2837 . . . . . . . 8 (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
5619, 55mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → (comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
5719, 42mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
5851, 37, 52, 41, 53, 56, 57tpres 6371 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) = {⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩})
5935, 58eqtrd 2644 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) = {⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩})
6059uneq1d 3728 . . . 4 (𝜑 → (((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = ({⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}))
61 df-tp 4130 . . . . . 6 {⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩} = ({⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩})
62 tprot 4228 . . . . . 6 {⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩}
6361, 62eqtr3i 2634 . . . . 5 ({⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩}
6463a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ({⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
6560, 64eqtrd 2644 . . 3 (𝜑 → (((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
6632, 65eqtrd 2644 . 2 (𝜑 → (((𝐶s 𝐴) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
674, 66eqtrd 2644 1 (𝜑 → ((𝐶s 𝐴) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  {csn 4125  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131   ↾ cres 5040  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ndxcnx 15692   sSet csts 15693  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  Hom chom 15779  compcco 15780 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-hom 15793  df-cco 15794 This theorem is referenced by:  dfrngc2  41764  dfringc2  41810  rngcresringcat  41822
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