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Theorem funtpg 5575
Description: A set of three pairs is a function if their first members are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
funtpg  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  Fun  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. } )

Proof of Theorem funtpg
StepHypRef Expression
1 3simpa 985 . . . 4  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( X  e.  U  /\  Y  e.  V
) )
2 3simpa 985 . . . 4  |-  ( ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  ->  ( A  e.  F  /\  B  e.  G
) )
3 simp1 988 . . . 4  |-  ( ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/=  Z )  ->  X  =/=  Y )
4 funprg 5574 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G )  /\  X  =/=  Y )  ->  Fun  {
<. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. } )
51, 2, 3, 4syl3an 1261 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  Fun  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. } )
6 simp13 1020 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  Z  e.  W )
7 simp23 1023 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  C  e.  H )
8 funsng 5571 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  W  /\  C  e.  H )  ->  Fun  { <. Z ,  C >. } )
96, 7, 8syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  Fun  { <. Z ,  C >. } )
1023ad2ant2 1010 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  -> 
( A  e.  F  /\  B  e.  G
) )
11 dmpropg 5419 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  F  /\  B  e.  G )  ->  dom  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  =  { X ,  Y }
)
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  dom  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  =  { X ,  Y } )
13 dmsnopg 5417 . . . . . 6  |-  ( C  e.  H  ->  dom  {
<. Z ,  C >. }  =  { Z }
)
147, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  dom  { <. Z ,  C >. }  =  { Z } )
1512, 14ineq12d 3660 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  -> 
( dom  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  i^i  dom  {
<. Z ,  C >. } )  =  ( { X ,  Y }  i^i  { Z } ) )
16 elpri 4004 . . . . . . . 8  |-  ( Z  e.  { X ,  Y }  ->  ( Z  =  X  \/  Z  =  Y ) )
17 nne 2653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  X  =/=  Z  <->  X  =  Z )
1817biimpri 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  =  Z  ->  -.  X  =/=  Z )
1918eqcoms 2466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  =  X  ->  -.  X  =/=  Z )
20 3mix2 1158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  X  =/=  Z  -> 
( -.  X  =/= 
Y  \/  -.  X  =/=  Z  \/  -.  Y  =/=  Z ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  =  X  ->  ( -.  X  =/=  Y  \/  -.  X  =/=  Z  \/  -.  Y  =/=  Z
) )
22 nne 2653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  Y  =/=  Z  <->  Y  =  Z )
2322biimpri 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  =  Z  ->  -.  Y  =/=  Z )
2423eqcoms 2466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  =  Y  ->  -.  Y  =/=  Z )
25 3mix3 1159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  Y  =/=  Z  -> 
( -.  X  =/= 
Y  \/  -.  X  =/=  Z  \/  -.  Y  =/=  Z ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  =  Y  ->  ( -.  X  =/=  Y  \/  -.  X  =/=  Z  \/  -.  Y  =/=  Z
) )
2721, 26jaoi 379 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z  =  X  \/  Z  =  Y )  ->  ( -.  X  =/= 
Y  \/  -.  X  =/=  Z  \/  -.  Y  =/=  Z ) )
28 3ianor 982 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/=  Z
)  <->  ( -.  X  =/=  Y  \/  -.  X  =/=  Z  \/  -.  Y  =/=  Z ) )
2927, 28sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  =  X  \/  Z  =  Y )  ->  -.  ( X  =/= 
Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/=  Z
) )
3016, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  { X ,  Y }  ->  -.  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )
3130con2i 120 . . . . . 6  |-  ( ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/=  Z )  ->  -.  Z  e.  { X ,  Y } )
32 disjsn 4043 . . . . . 6  |-  ( ( { X ,  Y }  i^i  { Z }
)  =  (/)  <->  -.  Z  e.  { X ,  Y } )
3331, 32sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/=  Z )  ->  ( { X ,  Y }  i^i  { Z } )  =  (/) )
34333ad2ant3 1011 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  -> 
( { X ,  Y }  i^i  { Z } )  =  (/) )
3515, 34eqtrd 2495 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  -> 
( dom  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  i^i  dom  {
<. Z ,  C >. } )  =  (/) )
36 funun 5567 . . 3  |-  ( ( ( Fun  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  /\  Fun  { <. Z ,  C >. } )  /\  ( dom  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  i^i  dom  { <. Z ,  C >. } )  =  (/) )  ->  Fun  ( { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  u.  { <. Z ,  C >. } ) )
375, 9, 35, 36syl21anc 1218 . 2  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  Fun  ( { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  u.  { <. Z ,  C >. } ) )
38 df-tp 3989 . . 3  |-  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. }  =  ( { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  u.  { <. Z ,  C >. } )
3938funeqi 5545 . 2  |-  ( Fun 
{ <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. }  <->  Fun  ( { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  u.  {
<. Z ,  C >. } ) )
4037, 39sylibr 212 1  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  Fun  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 964    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2647    u. cun 3433    i^i cin 3434   (/)c0 3744   {csn 3984   {cpr 3986   {ctp 3988   <.cop 3990   dom cdm 4947   Fun wfun 5519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pr 4638
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-rab 2807  df-v 3078  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-br 4400  df-opab 4458  df-id 4743  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-fun 5527
This theorem is referenced by:  fntpg  5580  constr2spthlem1  23644
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