MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr2spthlem1 Structured version   Unicode version

Theorem constr2spthlem1 24258
Description: Lemma 1 for constr2spth 24264. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
2pth.p  |-  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }
Assertion
Ref Expression
constr2spthlem1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )  ->  Fun  `' P )

Proof of Theorem constr2spthlem1
StepHypRef Expression
1 0z 10864 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
2 1z 10883 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
3 2z 10885 . . . 4  |-  2  e.  ZZ
41, 2, 33pm3.2i 1169 . . 3  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )
5 funtpg 5629 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  ->  Fun  { <. A ,  0
>. ,  <. B , 
1 >. ,  <. C , 
2 >. } )
64, 5mp3an2 1307 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )  ->  Fun  {
<. A ,  0 >. ,  <. B ,  1
>. ,  <. C , 
2 >. } )
7 cnvun 5402 . . . . . . . 8  |-  `' ( { <. 0 ,  A >. }  u.  { <. 1 ,  B >. } )  =  ( `' { <. 0 ,  A >. }  u.  `' { <. 1 ,  B >. } )
81jctl 541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  V  ->  (
0  e.  ZZ  /\  A  e.  V )
)
983ad2ant1 1012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  V ) )
10 cnvsng 5485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  V )  ->  `' { <. 0 ,  A >. }  =  { <. A ,  0 >. } )
119, 10syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  `' { <. 0 ,  A >. }  =  { <. A ,  0 >. } )
122jctl 541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  V  ->  (
1  e.  ZZ  /\  B  e.  V )
)
13123ad2ant2 1013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  B  e.  V ) )
14 cnvsng 5485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  B  e.  V )  ->  `' { <. 1 ,  B >. }  =  { <. B ,  1 >. } )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  `' { <. 1 ,  B >. }  =  { <. B ,  1 >. } )
1611, 15uneq12d 3652 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( `' { <. 0 ,  A >. }  u.  `' { <. 1 ,  B >. } )  =  ( {
<. A ,  0 >. }  u.  { <. B , 
1 >. } ) )
177, 16syl5eq 2513 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  `' ( { <. 0 ,  A >. }  u.  { <. 1 ,  B >. } )  =  ( { <. A , 
0 >. }  u.  { <. B ,  1 >. } ) )
18 df-pr 4023 . . . . . . . . 9  |-  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  =  ( {
<. 0 ,  A >. }  u.  { <. 1 ,  B >. } )
1918a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  =  ( {
<. 0 ,  A >. }  u.  { <. 1 ,  B >. } ) )
2019cnveqd 5169 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  `' { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  =  `' ( { <. 0 ,  A >. }  u.  { <. 1 ,  B >. } ) )
21 df-pr 4023 . . . . . . . 8  |-  { <. A ,  0 >. ,  <. B ,  1 >. }  =  ( { <. A ,  0
>. }  u.  { <. B ,  1 >. } )
2221a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { <. A ,  0
>. ,  <. B , 
1 >. }  =  ( { <. A ,  0
>. }  u.  { <. B ,  1 >. } ) )
2317, 20, 223eqtr4d 2511 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  `' { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  =  { <. A ,  0 >. ,  <. B ,  1 >. } )
243jctl 541 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  V  ->  (
2  e.  ZZ  /\  C  e.  V )
)
25243ad2ant3 1014 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( 2  e.  ZZ  /\  C  e.  V ) )
26 cnvsng 5485 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  C  e.  V )  ->  `' { <. 2 ,  C >. }  =  { <. C ,  2 >. } )
2725, 26syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  `' { <. 2 ,  C >. }  =  { <. C ,  2 >. } )
2823, 27uneq12d 3652 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( `' { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  `' { <. 2 ,  C >. } )  =  ( {
<. A ,  0 >. ,  <. B ,  1
>. }  u.  { <. C ,  2 >. } ) )
29 2pth.p . . . . . . 7  |-  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }
3029cnveqi 5168 . . . . . 6  |-  `' P  =  `' { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }
31 df-tp 4025 . . . . . . 7  |-  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  =  ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. } )
3231cnveqi 5168 . . . . . 6  |-  `' { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  =  `' ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. } )
33 cnvun 5402 . . . . . 6  |-  `' ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. } )  =  ( `' { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  `' { <. 2 ,  C >. } )
3430, 32, 333eqtri 2493 . . . . 5  |-  `' P  =  ( `' { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  `' { <. 2 ,  C >. } )
35 df-tp 4025 . . . . 5  |-  { <. A ,  0 >. ,  <. B ,  1 >. ,  <. C ,  2 >. }  =  ( { <. A ,  0
>. ,  <. B , 
1 >. }  u.  { <. C ,  2 >. } )
3628, 34, 353eqtr4g 2526 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  `' P  =  { <. A ,  0 >. ,  <. B ,  1
>. ,  <. C , 
2 >. } )
3736funeqd 5600 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( Fun  `' P  <->  Fun 
{ <. A ,  0
>. ,  <. B , 
1 >. ,  <. C , 
2 >. } ) )
3837adantr 465 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )  ->  ( Fun  `' P  <->  Fun  { <. A , 
0 >. ,  <. B , 
1 >. ,  <. C , 
2 >. } ) )
396, 38mpbird 232 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )  ->  Fun  `' P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655    u. cun 3467   {csn 4020   {cpr 4022   {ctp 4024   <.cop 4026   `'ccnv 4991   Fun wfun 5573   0cc0 9481   1c1 9482   2c2 10574   ZZcz 10853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-z 10854
This theorem is referenced by:  constr2spth  24264
  Copyright terms: Public domain W3C validator