MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr2spthlem1 Structured version   Unicode version

Theorem constr2spthlem1 25000
Description: Lemma 1 for constr2spth 25006. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
2pth.p  |-  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }
Assertion
Ref Expression
constr2spthlem1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )  ->  Fun  `' P )

Proof of Theorem constr2spthlem1
StepHypRef Expression
1 0z 10915 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
2 1z 10934 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
3 2z 10936 . . . 4  |-  2  e.  ZZ
41, 2, 33pm3.2i 1175 . . 3  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )
5 funtpg 5618 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  ->  Fun  { <. A ,  0
>. ,  <. B , 
1 >. ,  <. C , 
2 >. } )
64, 5mp3an2 1314 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )  ->  Fun  {
<. A ,  0 >. ,  <. B ,  1
>. ,  <. C , 
2 >. } )
7 cnvun 5228 . . . . . . . 8  |-  `' ( { <. 0 ,  A >. }  u.  { <. 1 ,  B >. } )  =  ( `' { <. 0 ,  A >. }  u.  `' { <. 1 ,  B >. } )
81jctl 539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  V  ->  (
0  e.  ZZ  /\  A  e.  V )
)
983ad2ant1 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  V ) )
10 cnvsng 5309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  V )  ->  `' { <. 0 ,  A >. }  =  { <. A ,  0 >. } )
119, 10syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  `' { <. 0 ,  A >. }  =  { <. A ,  0 >. } )
122jctl 539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  V  ->  (
1  e.  ZZ  /\  B  e.  V )
)
13123ad2ant2 1019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  B  e.  V ) )
14 cnvsng 5309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  B  e.  V )  ->  `' { <. 1 ,  B >. }  =  { <. B ,  1 >. } )
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  `' { <. 1 ,  B >. }  =  { <. B ,  1 >. } )
1611, 15uneq12d 3597 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( `' { <. 0 ,  A >. }  u.  `' { <. 1 ,  B >. } )  =  ( {
<. A ,  0 >. }  u.  { <. B , 
1 >. } ) )
177, 16syl5eq 2455 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  `' ( { <. 0 ,  A >. }  u.  { <. 1 ,  B >. } )  =  ( { <. A , 
0 >. }  u.  { <. B ,  1 >. } ) )
18 df-pr 3974 . . . . . . . . 9  |-  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  =  ( {
<. 0 ,  A >. }  u.  { <. 1 ,  B >. } )
1918a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  =  ( {
<. 0 ,  A >. }  u.  { <. 1 ,  B >. } ) )
2019cnveqd 4998 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  `' { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  =  `' ( { <. 0 ,  A >. }  u.  { <. 1 ,  B >. } ) )
21 df-pr 3974 . . . . . . . 8  |-  { <. A ,  0 >. ,  <. B ,  1 >. }  =  ( { <. A ,  0
>. }  u.  { <. B ,  1 >. } )
2221a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { <. A ,  0
>. ,  <. B , 
1 >. }  =  ( { <. A ,  0
>. }  u.  { <. B ,  1 >. } ) )
2317, 20, 223eqtr4d 2453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  `' { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  =  { <. A ,  0 >. ,  <. B ,  1 >. } )
243jctl 539 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  V  ->  (
2  e.  ZZ  /\  C  e.  V )
)
25243ad2ant3 1020 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( 2  e.  ZZ  /\  C  e.  V ) )
26 cnvsng 5309 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  C  e.  V )  ->  `' { <. 2 ,  C >. }  =  { <. C ,  2 >. } )
2725, 26syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  `' { <. 2 ,  C >. }  =  { <. C ,  2 >. } )
2823, 27uneq12d 3597 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( `' { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  `' { <. 2 ,  C >. } )  =  ( {
<. A ,  0 >. ,  <. B ,  1
>. }  u.  { <. C ,  2 >. } ) )
29 2pth.p . . . . . . 7  |-  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }
3029cnveqi 4997 . . . . . 6  |-  `' P  =  `' { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }
31 df-tp 3976 . . . . . . 7  |-  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  =  ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. } )
3231cnveqi 4997 . . . . . 6  |-  `' { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  =  `' ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. } )
33 cnvun 5228 . . . . . 6  |-  `' ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. } )  =  ( `' { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  `' { <. 2 ,  C >. } )
3430, 32, 333eqtri 2435 . . . . 5  |-  `' P  =  ( `' { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  `' { <. 2 ,  C >. } )
35 df-tp 3976 . . . . 5  |-  { <. A ,  0 >. ,  <. B ,  1 >. ,  <. C ,  2 >. }  =  ( { <. A ,  0
>. ,  <. B , 
1 >. }  u.  { <. C ,  2 >. } )
3628, 34, 353eqtr4g 2468 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  `' P  =  { <. A ,  0 >. ,  <. B ,  1
>. ,  <. C , 
2 >. } )
3736funeqd 5589 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( Fun  `' P  <->  Fun 
{ <. A ,  0
>. ,  <. B , 
1 >. ,  <. C , 
2 >. } ) )
3837adantr 463 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )  ->  ( Fun  `' P  <->  Fun  { <. A , 
0 >. ,  <. B , 
1 >. ,  <. C , 
2 >. } ) )
396, 38mpbird 232 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )  ->  Fun  `' P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598    u. cun 3411   {csn 3971   {cpr 3973   {ctp 3975   <.cop 3977   `'ccnv 4821   Fun wfun 5562   0cc0 9521   1c1 9522   2c2 10625   ZZcz 10904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-z 10905
This theorem is referenced by:  constr2spth  25006
  Copyright terms: Public domain W3C validator