Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coecj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coecj 23838
 Description: Double conjugation of a polynomial causes the coefficients to be conjugated. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plycj.1 𝑁 = (deg‘𝐹)
plycj.2 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
coecj.3 𝐴 = (coeff‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
coecj (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐺) = (∗ ∘ 𝐴))

Proof of Theorem coecj
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plycj.1 . . 3 𝑁 = (deg‘𝐹)
2 plycj.2 . . 3 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
3 cjcl 13693 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (∗‘𝑥) ∈ ℂ)
43adantl 481 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∗‘𝑥) ∈ ℂ)
5 plyssc 23760 . . . 4 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
65sseli 3564 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
71, 2, 4, 6plycj 23837 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
8 dgrcl 23793 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
91, 8syl5eqel 2692 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10 cjf 13692 . . 3 ∗:ℂ⟶ℂ
11 coecj.3 . . . 4 𝐴 = (coeff‘𝐹)
1211coef3 23792 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
13 fco 5971 . . 3 ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
1410, 12, 13sylancr 694 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (∗ ∘ 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
15 fvco3 6185 . . . . . . . . 9 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴𝑘)))
1612, 15sylan 487 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴𝑘)))
17 cj0 13746 . . . . . . . . . 10 (∗‘0) = 0
1817eqcomi 2619 . . . . . . . . 9 0 = (∗‘0)
1918a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 = (∗‘0))
2016, 19eqeq12d 2625 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = 0 ↔ (∗‘(𝐴𝑘)) = (∗‘0)))
2112ffvelrnda 6267 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
22 0cnd 9912 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℂ)
23 cj11 13750 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((∗‘(𝐴𝑘)) = (∗‘0) ↔ (𝐴𝑘) = 0))
2421, 22, 23syl2anc 691 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘(𝐴𝑘)) = (∗‘0) ↔ (𝐴𝑘) = 0))
2520, 24bitrd 267 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = 0 ↔ (𝐴𝑘) = 0))
2625necon3bid 2826 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐴𝑘) ≠ 0))
2711, 1dgrub2 23795 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
28 plyco0 23752 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
299, 12, 28syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
3027, 29mpbid 221 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
3130r19.21bi 2916 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
3226, 31sylbid 229 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
3332ralrimiva 2949 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
34 plyco0 23752 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (∗ ∘ 𝐴):ℕ0⟶ℂ) → (((∗ ∘ 𝐴) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
359, 14, 34syl2anc 691 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (((∗ ∘ 𝐴) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
3633, 35mpbird 246 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((∗ ∘ 𝐴) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
371, 2, 11plycjlem 23836 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
387, 9, 14, 36, 37coeeq 23787 1 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐺) = (∗ ∘ 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {csn 4125   class class class wbr 4583   “ cima 5041   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954  ℕ0cn0 11169  ℤ≥cuz 11563  ∗ccj 13684  Polycply 23744  coeffccoe 23746  degcdgr 23747 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-0p 23243  df-ply 23748  df-coe 23750  df-dgr 23751 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator