Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cau4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cau4 13944
 Description: Change the base of a Cauchy criterion. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cau3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
cau4.2 𝑊 = (ℤ𝑁)
Assertion
Ref Expression
cau4 (𝑁𝑍 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑗,𝑁,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝑗,𝑊,𝑘,𝑥

Proof of Theorem cau4
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzel2 11568 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 cau3.1 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
32rexuz3 13936 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑦))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑦))) < 𝑥)))
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑦))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑦))) < 𝑥)))
5 eluzelz 11573 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 cau4.2 . . . . . . 7 𝑊 = (ℤ𝑁)
76rexuz3 13936 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑦))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑦))) < 𝑥)))
85, 7syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (∃𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑦))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑦))) < 𝑥)))
94, 8bitr4d 270 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑦))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑦))) < 𝑥)))
109, 2eleq2s 2706 . . 3 (𝑁𝑍 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑦))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑦))) < 𝑥)))
1110ralbidv 2969 . 2 (𝑁𝑍 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑦))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑦))) < 𝑥)))
122cau3 13943 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑦))) < 𝑥))
136cau3 13943 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑦))) < 𝑥))
1411, 12, 133bitr4g 302 1 (𝑁𝑍 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   < clt 9953   − cmin 10145  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ℝ+crp 11708  abscabs 13822 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824 This theorem is referenced by:  caurcvg2  14256  caucvgb  14258  cvgcmp  14389
 Copyright terms: Public domain W3C validator