Theorem av-extwwlkfab 41520

Description: The set (𝑋𝐶𝑁) of closed walks (having a fixed length greater than 1 and starting at a fixed vertex) with the last but 2 vertex is identical with the first (and therefore last) vertex can be constructed from the set (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) of closed walks with length smaller by 2 than the fixed length appending a neighbor of the last vertex and afterwards the last vertex (which is the first vertex) itself ("walking forth and back" from the last vertex). 3 ≤ 𝑁 is required since for 𝑁 = 2: (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) = (𝑋𝐹0) = ∅, see clwwlkgt0 26299 stating that a closed walk of length 0 is not represented as word, at least not for an undirected simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Sep-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
av-extwwlkfab.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
av-extwwlkfab.f	⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
av-extwwlkfab.c	⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})

Assertion

Ref	Expression
av-extwwlkfab	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)})

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑤,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem av-extwwlkfab

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzuzle23 11605	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
2	1	anim2i 591	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
3		av-extwwlkfab.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
4	3	av-numclwwlkovg 41518	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})
5	2, 4	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})
6	5	3adant1 1072	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})
7		3simpb 1052	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))
8	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))
9		simpr 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) → 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺))
10		simpr 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))
11		av-extwwlkfablem2 41510	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺))
12	8, 9, 10, 11	syl2an3an 1378	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺))
13		simpl 472	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤‘0) = 𝑋)
14	13	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (𝑤‘0) = 𝑋)
15	12, 14	jca 553	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋))
16	1	anim2i 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
17	16	3adant2 1073	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
18	17	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
19		av-extwwlkfablem1 41508	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx (𝑤‘0)))
20	18, 9, 10, 19	syl2an3an 1378	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx (𝑤‘0)))
21		oveq2 6557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = (𝑤‘0) → (𝐺 NeighbVtx 𝑋) = (𝐺 NeighbVtx (𝑤‘0)))
22	21	eqcoms 2618	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤‘0) = 𝑋 → (𝐺 NeighbVtx 𝑋) = (𝐺 NeighbVtx (𝑤‘0)))
23	22	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝐺 NeighbVtx 𝑋) = (𝐺 NeighbVtx (𝑤‘0)))
24	23	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (𝐺 NeighbVtx 𝑋) = (𝐺 NeighbVtx (𝑤‘0)))
25	20, 24	eleqtrrd 2691	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))
26	10, 13	eqtrd 2644	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
27	26	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
28	15, 25, 27	3jca 1235	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
29	28	ex 449	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
30		simpl 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑤‘0) = 𝑋)
31		simpr 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
32	30	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑤‘0))
33	31, 32	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))
34	30, 33	jca 553	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))
35	34	ex 449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤‘0) = 𝑋 → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 → ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))))
36	35	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤‘0) = 𝑋 → ((𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 → ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))))
37	36	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → ((𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 → ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))))
38	37	3imp 1249	. . . . 5 ⊢ ((((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))
39	29, 38	impbid1 214	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) ↔ (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
40		av-extwwlkfab.v	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
41	40	clwwlknbp 41193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁))
42		ige3m2fz 12236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁))
43		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((#‘𝑤) = 𝑁 → (1...(#‘𝑤)) = (1...𝑁))
44	43	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘𝑤) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁)))
45	42, 44	syl5ibr 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝑤) = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤))))
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤))))
47		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) → 𝑤 ∈ Word 𝑉)
48	46, 47	jctild 564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤)))))
49	41, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤)))))
50	49	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤)))))
51	50	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤)))))
52	51	imp 444	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤))))
53		swrd0fv0 13292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤))) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = (𝑤‘0))
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = (𝑤‘0))
55	54	eqcomd 2616	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) → (𝑤‘0) = ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0))
56	55	eqeq1d 2612	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = 𝑋))
57	56	anbi2d 736	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ↔ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺) ∧ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = 𝑋)))
58	57	3anbi1d 1395	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) → ((((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺) ∧ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
59		uz3m2nn 11607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
60	59	anim2i 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ))
61	60	3adant1 1072	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ))
62		av-extwwlkfab.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
63	62	av-numclwwlkovf 41511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ) → (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) = {𝑤 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
64	63	eleq2d 2673	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ {𝑤 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}))
65	61, 64	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ {𝑤 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}))
66		fveq1 6102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) → (𝑢‘0) = ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0))
67	66	eqeq1d 2612	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) → ((𝑢‘0) = 𝑋 ↔ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = 𝑋))
68		fveq1 6102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝑤‘0) = (𝑢‘0))
69	68	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (𝑢‘0) = 𝑋))
70	69	cbvrabv 3172	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑤 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = {𝑢 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑢‘0) = 𝑋}
71	67, 70	elrab2 3333	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ {𝑤 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ↔ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺) ∧ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = 𝑋))
72	65, 71	syl6bb 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺) ∧ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = 𝑋)))
73	72	3anbi1d 1395	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺) ∧ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
74	73	bicomd 212	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺) ∧ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
75	74	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) → ((((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺) ∧ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
76	39, 58, 75	3bitrd 293	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) ↔ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
77	76	rabbidva 3163	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))} = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)})
78	6, 77	eqtrd 2644	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  ⟨cop 4131  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  0cc0 9815  1c1 9816   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197  #chash 12979  Word cword 13146   substr csubstr 13150  Vtxcvtx 25673   USGraph cusgr 40379   NeighbVtx cnbgr 40550   ClWWalkSN cclwwlksn 41184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-substr 13158  df-upgr 25749  df-umgr 25750  df-edga 25793  df-usgr 40381  df-nbgr 40554  df-clwwlks 41185  df-clwwlksn 41186

This theorem is referenced by:  av-numclwlk1lem2foa  41521  av-numclwlk1lem2f  41522