Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1conngr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1conngr 41361
 Description: A graph with (at most) one vertex is connected. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
1conngr ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) → 𝐺 ∈ ConnGraph)

Proof of Theorem 1conngr
Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snidg 4153 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ V → 𝑁 ∈ {𝑁})
21adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → 𝑁 ∈ {𝑁})
3 eleq2 2677 . . . . . . . . . 10 ((Vtx‘𝐺) = {𝑁} → (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑁 ∈ {𝑁}))
43ad2antll 761 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑁 ∈ {𝑁}))
52, 4mpbird 246 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
6 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
760pthonv-av 41297 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) → ∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝)
85, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → ∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝)
9 oveq2 6557 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑁 → (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛) = (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁))
109breqd 4594 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑁 → (𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝))
11102exbidv 1839 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → (∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝))
1211ralsng 4165 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ V → (∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝))
1312adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → (∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝))
148, 13mpbird 246 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → ∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝)
15 oveq1 6556 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛) = (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛))
1615breqd 4594 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑁 → (𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
17162exbidv 1839 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑁 → (∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
1817ralbidv 2969 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑁 → (∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
1918ralsng 4165 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ V → (∀𝑘 ∈ {𝑁}∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
2019adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → (∀𝑘 ∈ {𝑁}∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
2114, 20mpbird 246 . . . . 5 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → ∀𝑘 ∈ {𝑁}∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝)
22 id 22 . . . . . . 7 ((Vtx‘𝐺) = {𝑁} → (Vtx‘𝐺) = {𝑁})
23 raleq 3115 . . . . . . 7 ((Vtx‘𝐺) = {𝑁} → (∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
2422, 23raleqbidv 3129 . . . . . 6 ((Vtx‘𝐺) = {𝑁} → (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ {𝑁}∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
2524ad2antll 761 . . . . 5 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ {𝑁}∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
2621, 25mpbird 246 . . . 4 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝)
276isconngr 41356 . . . . 5 (𝐺𝑊 → (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
2827ad2antrl 760 . . . 4 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
2926, 28mpbird 246 . . 3 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → 𝐺 ∈ ConnGraph)
3029ex 449 . 2 (𝑁 ∈ V → ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) → 𝐺 ∈ ConnGraph))
31 snprc 4197 . . 3 𝑁 ∈ V ↔ {𝑁} = ∅)
32 eqeq2 2621 . . . . 5 ({𝑁} = ∅ → ((Vtx‘𝐺) = {𝑁} ↔ (Vtx‘𝐺) = ∅))
3332anbi2d 736 . . . 4 ({𝑁} = ∅ → ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) ↔ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅)))
34 0vconngr 41360 . . . 4 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ ConnGraph)
3533, 34syl6bi 242 . . 3 ({𝑁} = ∅ → ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) → 𝐺 ∈ ConnGraph))
3631, 35sylbi 206 . 2 𝑁 ∈ V → ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) → 𝐺 ∈ ConnGraph))
3730, 36pm2.61i 175 1 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) → 𝐺 ∈ ConnGraph)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Vtxcvtx 25673  PathsOncpthson 40921  ConnGraphcconngr 41353 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-1wlks 40800  df-wlkson 40802  df-trls 40901  df-trlson 40902  df-pths 40923  df-pthson 40925  df-conngr 41354 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator