Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0subcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0subcld 28918
 Description: Condition for closure of nonnegative extended reals under subtraction. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0subcld.a (𝜑𝐴 ∈ (0[,]+∞))
xrge0subcld.b (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
xrge0subcld.c (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
xrge0subcld (𝜑 → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem xrge0subcld
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12127 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 xrge0subcld.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (0[,]+∞))
31, 2sseldi 3566 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4 xrge0subcld.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
51, 4sseldi 3566 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
65xnegcld 12002 . . . 4 (𝜑 → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
73, 6xaddcld 12003 . . 3 (𝜑 → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
8 xrge0subcld.c . . . 4 (𝜑𝐵𝐴)
9 xsubge0 11963 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
103, 5, 9syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
118, 10mpbird 246 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
127, 11jca 553 . 2 (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)))
13 elxrge0 12152 . 2 ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)))
1412, 13sylibr 223 1 (𝜑 → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   ≤ cle 9954  -𝑒cxne 11819   +𝑒 cxad 11820  [,]cicc 12049 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-icc 12053 This theorem is referenced by:  carsgclctunlem2  29708
 Copyright terms: Public domain W3C validator