Theorem wlksoneq1eq2 40872

Description: Two walks with identical sequences of vertices start and end at the same vertices. (Contributed by AV, 14-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wlksoneq1eq2	⊢ ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐻(𝐶(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem wlksoneq1eq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2610	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	wlkOnprop 40866	. 2 ⊢ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)))
3	1	wlkOnprop 40866	. 2 ⊢ (𝐻(𝐶(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐻(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(#‘𝐻)) = 𝐷)))
4		simp2 1055	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
5	4	eqcomd 2616	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → 𝐴 = (𝑃‘0))
6		simp2 1055	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐻(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(#‘𝐻)) = 𝐷) → (𝑃‘0) = 𝐶)
7	5, 6	sylan9eqr 2666	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐻(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(#‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) → 𝐴 = 𝐶)
8		simp3 1056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)
9	8	eqcomd 2616	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → 𝐵 = (𝑃‘(#‘𝐹)))
10	9	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐻(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(#‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) → 𝐵 = (𝑃‘(#‘𝐹)))
11		1wlklenvm1 40826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐻(1Walks‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐻) = ((#‘𝑃) − 1))
12		1wlklenvm1 40826	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1))
13		eqtr3 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1) ∧ (#‘𝐻) = ((#‘𝑃) − 1)) → (#‘𝐹) = (#‘𝐻))
14	13	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1) ∧ (#‘𝐻) = ((#‘𝑃) − 1)) → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘(#‘𝐻)))
15	14	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1) → ((#‘𝐻) = ((#‘𝑃) − 1) → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘(#‘𝐻))))
16	12, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → ((#‘𝐻) = ((#‘𝑃) − 1) → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘(#‘𝐻))))
17	16	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → ((#‘𝐻) = ((#‘𝑃) − 1) → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘(#‘𝐻))))
18	17	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝐻) = ((#‘𝑃) − 1) → ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘(#‘𝐻))))
19	11, 18	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻(1Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘(#‘𝐻))))
20	19	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(#‘𝐻)) = 𝐷) → ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘(#‘𝐻))))
21	20	imp 444	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐻(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(#‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘(#‘𝐻)))
22		simpl3 1059	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐻(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(#‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝑃‘(#‘𝐻)) = 𝐷)
23	10, 21, 22	3eqtrd 2648	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐻(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(#‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) → 𝐵 = 𝐷)
24	7, 23	jca 553	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐻(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(#‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
25	24	ex 449	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(#‘𝐻)) = 𝐷) → ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
26	25	3ad2ant3 1077	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐻(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(#‘𝐻)) = 𝐷)) → ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
27	26	com12 32	. . . 4 ⊢ ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐻(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(#‘𝐻)) = 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
28	27	3ad2ant3 1077	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) → (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐻(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(#‘𝐻)) = 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
29	28	imp 444	. 2 ⊢ ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐻(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(#‘𝐻)) = 𝐷))) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
30	2, 3, 29	syl2an 493	1 ⊢ ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐻(𝐶(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   − cmin 10145  #chash 12979  Vtxcvtx 25673  1Walksc1wlks 40796  WalksOncwlkson 40798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-1wlks 40800  df-wlkson 40802

This theorem is referenced by:  wspthneq1eq2  41056