Theorem wlkOnl1iedg 40873

Description: If there is a walk between two vertices 𝐴 and 𝐵 at least of length 1, then the start vertex 𝐴 is incident with an edge. (Contributed by AV, 4-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
wlkOnl1iedg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wlkOnl1iedg	⊢ ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ (#‘𝐹) ≠ 0) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑒   𝑒,𝐹   𝑒,𝐺   𝑒,𝐼   𝑃,𝑒

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑒)

Proof of Theorem wlkOnl1iedg

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	wlkOnprop 40866	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)))
3		fveq2 6103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘0))
4		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = (0 + 1))
5		0p1e1 11009	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 1) = 1
6	4, 5	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = 1)
7	6	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
8	3, 7	preq12d 4220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
9	8	sseq1d 3595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒 ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒))
10	9	rexbidv 3034	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒))
11		wlkOnl1iedg.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
12	11	1wlkvtxiedg 40829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒)
14	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) ∧ (#‘𝐹) ≠ 0) → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒)
15		1wlkcl 40820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
16		elnnne0 11183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ≠ 0))
17	16	simplbi2 653	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) ≠ 0 → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
18		lbfzo0 12375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↔ (#‘𝐹) ∈ ℕ)
19	17, 18	syl6ibr 241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) ≠ 0 → 0 ∈ (0..^(#‘𝐹))))
20	15, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → ((#‘𝐹) ≠ 0 → 0 ∈ (0..^(#‘𝐹))))
21	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → ((#‘𝐹) ≠ 0 → 0 ∈ (0..^(#‘𝐹))))
22	21	imp 444	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) ∧ (#‘𝐹) ≠ 0) → 0 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
23	10, 14, 22	rspcdva 3288	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) ∧ (#‘𝐹) ≠ 0) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒)
24		fvex 6113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃‘0) ∈ V
25		fvex 6113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃‘1) ∈ V
26	24, 25	prss 4291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃‘0) ∈ 𝑒 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑒) ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒)
27		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑒 ↔ 𝐴 ∈ 𝑒))
28		ax-1 6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑒 → ((𝑃‘1) ∈ 𝑒 → 𝐴 ∈ 𝑒))
29	27, 28	syl6bi 242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑒 → ((𝑃‘1) ∈ 𝑒 → 𝐴 ∈ 𝑒)))
30	29	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑒 → ((𝑃‘1) ∈ 𝑒 → 𝐴 ∈ 𝑒)))
31	30	impd 446	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → (((𝑃‘0) ∈ 𝑒 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑒) → 𝐴 ∈ 𝑒))
32	26, 31	syl5bir 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒 → 𝐴 ∈ 𝑒))
33	32	reximdv 2999	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → (∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒))
34	33	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) ∧ (#‘𝐹) ≠ 0) → (∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒))
35	23, 34	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) ∧ (#‘𝐹) ≠ 0) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒)
36	35	ex 449	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → ((#‘𝐹) ≠ 0 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒))
37	36	3adant3 1074	. . . 4 ⊢ ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → ((#‘𝐹) ≠ 0 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒))
38	37	3ad2ant3 1077	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) → ((#‘𝐹) ≠ 0 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒))
39	2, 38	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((#‘𝐹) ≠ 0 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒))
40	39	imp 444	1 ⊢ ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ (#‘𝐹) ≠ 0) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  1Walksc1wlks 40796  WalksOncwlkson 40798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-1wlks 40800  df-wlkson 40802

This theorem is referenced by:  conngrv2edg  41362