Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  usgr2wlkneq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgr2wlkneq 40962
 Description: The vertices and edges are pairwise different in a walk of length 2 in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Mar-2018.) (Revised by AV, 26-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
usgr2wlkneq (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃) ∧ ((#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))

Proof of Theorem usgr2wlkneq
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlkv 40815 . . . 4 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
2 usgrupgr 40412 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UPGraph )
3 3simpc 1053 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
42, 3anim12i 588 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
5 3anass 1035 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ↔ (𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
64, 5sylibr 223 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
7 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
8 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
97, 8upgriswlk 40849 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
106, 9syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
11 c0ex 9913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ V
12 1ex 9914 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ V
13 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 0 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘0))
1413fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 0 → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)))
15 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
16 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = (0 + 1))
17 0p1e1 11009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0 + 1) = 1
1816, 17syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = 1)
1918fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
2015, 19preq12d 4220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 0 → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
2114, 20eqeq12d 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 0 → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}))
22 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 1 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘1))
2322fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 1 → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)))
24 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 1 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘1))
25 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = (1 + 1))
26 1p1e2 11011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 + 1) = 2
2725, 26syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = 2)
2827fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 1 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘2))
2924, 28preq12d 4220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 1 → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
3023, 29eqeq12d 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 1 → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
3111, 12, 21, 30ralpr 4185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
32 simplll 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → 𝐺 ∈ USGraph )
33 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃‘0) ∈ V
348usgrnloopv 40427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑃‘0) ∈ V) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
3532, 33, 34sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
36 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃‘1) ∈ V
378usgrnloopv 40427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑃‘1) ∈ V) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
3832, 36, 37sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
3935, 38anim12d 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))))
40 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐹‘0) = (𝐹‘1) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)))
4140eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹‘0) = (𝐹‘1) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ↔ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}))
42 eqtr2 2630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
43 prcom 4211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {(𝑃‘2), (𝑃‘1)}
4443eqeq2i 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {(𝑃‘2), (𝑃‘1)})
45 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑃‘2) ∈ V
4633, 45preqr1 4319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {(𝑃‘2), (𝑃‘1)} → (𝑃‘0) = (𝑃‘2))
4744, 46sylbi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} → (𝑃‘0) = (𝑃‘2))
4842, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (𝑃‘0) = (𝑃‘2))
4948ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} → (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
5041, 49syl6bi 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐹‘0) = (𝐹‘1) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} → (𝑃‘0) = (𝑃‘2))))
5150impd 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹‘0) = (𝐹‘1) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
5251com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → ((𝐹‘0) = (𝐹‘1) → (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
5352necon3d 2803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))
5453com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))
5554adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))
56 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
5756adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
58 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))
59 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))
6057, 58, 593jca 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
6155, 60jctild 564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))
6261ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
6362com23 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
6463adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
6564adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
6639, 65mpdd 42 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))
6731, 66syl5bi 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))
6867ex 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
6968com23 84 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
7069ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))))
71 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝐹) = 2 → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘2))
7271neeq2d 2842 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝐹) = 2 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))
73 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝐹) = 2 → (0..^(#‘𝐹)) = (0..^2))
74 fzo0to2pr 12420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0..^2) = {0, 1}
7573, 74syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝐹) = 2 → (0..^(#‘𝐹)) = {0, 1})
7675raleqdv 3121 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝐹) = 2 → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}))
77 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝐹) = 2 → (0...(#‘𝐹)) = (0...2))
7877feq2d 5944 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝐹) = 2 → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)))
7978imbi1d 330 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝐹) = 2 → ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))) ↔ (𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
8076, 79imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝐹) = 2 → ((∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))) ↔ (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))))
8172, 80imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝐹) = 2 → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))))
8270, 81syl5ibrcom 236 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) → ((#‘𝐹) = 2 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))))
8382impd 446 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) → (((#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))))
8483com24 93 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (((#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))))
8584ex 449 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ USGraph → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (((#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))))
86853impd 1273 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ USGraph → ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (((#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
8786adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (((#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
8810, 87sylbid 229 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (((#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
8988ex 449 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (((#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))))
9089com13 86 . . . 4 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐺 ∈ USGraph → (((#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))))
911, 90mpd 15 . . 3 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ USGraph → (((#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
9291impcom 445 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃) → (((#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))
9392imp 444 1 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃) ∧ ((#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173  {cpr 4127   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  2c2 10947  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674   UPGraph cupgr 25747   USGraph cusgr 40379  1Walksc1wlks 40796 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-uhgr 25724  df-upgr 25749  df-umgr 25750  df-edga 25793  df-uspgr 40380  df-usgr 40381  df-1wlks 40800  df-wlks 40801 This theorem is referenced by:  usgr2wlkspthlem1  40963  usgr2wlkspthlem2  40964
 Copyright terms: Public domain W3C validator