usgr2wlkneq - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem usgr2wlkneq 40962

Description: The vertices and edges are pairwise different in a walk of length 2 in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Mar-2018.) (Revised by AV, 26-Jan-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
usgr2wlkneq	⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃) ∧ ((#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))

Proof of Theorem usgr2wlkneq Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkv 40815	. . . 4 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
2		usgrupgr 40412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UPGraph )
3		3simpc 1053	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
4	2, 3	anim12i 588	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
5		3anass 1035	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ↔ (𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
6	4, 5	sylibr 223	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
7		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
8		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
9	7, 8	upgriswlk 40849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
10	6, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
11		c0ex 9913	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ V
12		1ex 9914	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ V
13		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘0))
14	13	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 0 → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)))
15		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘0))
16		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = (0 + 1))
17		0p1e1 11009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (0 + 1) = 1
18	16, 17	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = 1)
19	18	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
20	15, 19	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 0 → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
21	14, 20	eqeq12d 2625	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 0 → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}))
22		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘1))
23	22	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 1 → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)))
24		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘1))
25		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = (1 + 1))
26		1p1e2 11011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 + 1) = 2
27	25, 26	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = 2)
28	27	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘2))
29	24, 28	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 1 → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
30	23, 29	eqeq12d 2625	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 1 → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
31	11, 12, 21, 30	ralpr 4185	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
32		simplll 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → 𝐺 ∈ USGraph )
33		fvex 6113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃‘0) ∈ V
34	8	usgrnloopv 40427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑃‘0) ∈ V) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
35	32, 33, 34	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
36		fvex 6113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃‘1) ∈ V
37	8	usgrnloopv 40427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑃‘1) ∈ V) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
38	32, 36, 37	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
39	35, 38	anim12d 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))))
40		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐹‘0) = (𝐹‘1) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)))
41	40	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐹‘0) = (𝐹‘1) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ↔ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}))
42		eqtr2 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
43		prcom 4211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {(𝑃‘2), (𝑃‘1)}
44	43	eqeq2i 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {(𝑃‘2), (𝑃‘1)})
45		fvex 6113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑃‘2) ∈ V
46	33, 45	preqr1 4319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {(𝑃‘2), (𝑃‘1)} → (𝑃‘0) = (𝑃‘2))
47	44, 46	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} → (𝑃‘0) = (𝑃‘2))
48	42, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (𝑃‘0) = (𝑃‘2))
49	48	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} → (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
50	41, 49	syl6bi 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐹‘0) = (𝐹‘1) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} → (𝑃‘0) = (𝑃‘2))))
51	50	impd 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐹‘0) = (𝐹‘1) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
52	51	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → ((𝐹‘0) = (𝐹‘1) → (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
53	52	necon3d 2803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))
54	53	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))
56		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
57	56	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
58		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))
59		simprr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))
60	57, 58, 59	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
61	55, 60	jctild 564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))
62	61	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
63	62	com23 84	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
64	63	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
65	64	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
66	39, 65	mpdd 42	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))
67	31, 66	syl5bi 231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))
68	67	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
69	68	com23 84	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
70	69	ex 449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))))
71		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝐹) = 2 → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘2))
72	71	neeq2d 2842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝐹) = 2 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))
73		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((#‘𝐹) = 2 → (0..^(#‘𝐹)) = (0..^2))
74		fzo0to2pr 12420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
75	73, 74	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘𝐹) = 2 → (0..^(#‘𝐹)) = {0, 1})
76	75	raleqdv 3121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝐹) = 2 → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}))
77		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((#‘𝐹) = 2 → (0...(#‘𝐹)) = (0...2))
78	77	feq2d 5944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘𝐹) = 2 → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)))
79	78	imbi1d 330	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝐹) = 2 → ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))) ↔ (𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
80	76, 79	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝐹) = 2 → ((∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))) ↔ (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))))
81	72, 80	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝐹) = 2 → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))))
82	70, 81	syl5ibrcom 236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) → ((#‘𝐹) = 2 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))))
83	82	impd 446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) → (((#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))))
84	83	com24 93	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (((#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))))
85	84	ex 449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (((#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))))
86	85	3impd 1273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (((#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
87	86	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (((#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
88	10, 87	sylbid 229	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (((#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
89	88	ex 449	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (((#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))))
90	89	com13 86	. . . 4 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐺 ∈ USGraph → (((#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))))
91	1, 90	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ USGraph → (((#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
92	91	impcom 445	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃) → (((#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))
93	92	imp 444	1 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃) ∧ ((#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 195 ∧ wa 383 ∧ w3a 1031 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ≠ wne 2780 ∀wral 2896 Vcvv 3173 {cpr 4127 class class class wbr 4583 dom cdm 5038 ⟶wf 5800 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 0cc0 9815 1c1 9816 + caddc 9818 2c2 10947 ...cfz 12197 ..^cfzo 12334 #chash 12979 Word cword 13146 Vtxcvtx 25673 iEdgciedg 25674 UPGraph cupgr 25747 USGraph cusgr 40379 1Walksc1wlks 40796

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-rep 4699 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-ifp 1007 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rmo 2904 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-int 4411 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-1o 7447 df-2o 7448 df-oadd 7451 df-er 7629 df-map 7746 df-pm 7747 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-fin 7845 df-card 8648 df-cda 8873 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-nn 10898 df-2 10956 df-n0 11170 df-z 11255 df-uz 11564 df-fz 12198 df-fzo 12335 df-hash 12980 df-word 13154 df-uhgr 25724 df-upgr 25749 df-umgr 25750 df-edga 25793 df-uspgr 40380 df-usgr 40381 df-1wlks 40800 df-wlks 40801

This theorem is referenced by: usgr2wlkspthlem1 40963 usgr2wlkspthlem2 40964

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