Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  umgr2v2enb1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr2v2enb1 40742
 Description: In a multigraph with two edges connecting the same two vertices, each of the vertices has one neighbor. (Contributed by AV, 18-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
umgr2v2evtx.g 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩
Assertion
Ref Expression
umgr2v2enb1 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐺 NeighbVtx 𝐴) = {𝐵})

Proof of Theorem umgr2v2enb1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 umgr2v2evtx.g . . . 4 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩
21umgr2v2e 40741 . . 3 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐺 ∈ UMGraph )
31umgr2v2evtxel 40738 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝐴𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
433adant3 1074 . . . 4 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
54adantr 480 . . 3 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
6 eqid 2610 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
7 eqid 2610 . . . 4 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
86, 7nbumgrvtx 40568 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 NeighbVtx 𝐴) = {𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∣ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)})
92, 5, 8syl2anc 691 . 2 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐺 NeighbVtx 𝐴) = {𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∣ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)})
101umgr2v2eedg 40740 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → (Edg‘𝐺) = {{𝐴, 𝐵}})
1110eleq2d 2673 . . . . . . . . . 10 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → ({𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝐴, 𝑥} ∈ {{𝐴, 𝐵}}))
1211adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → ({𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝐴, 𝑥} ∈ {{𝐴, 𝐵}}))
1312adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ({𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝐴, 𝑥} ∈ {{𝐴, 𝐵}}))
14 prex 4836 . . . . . . . . 9 {𝐴, 𝑥} ∈ V
1514elsn 4140 . . . . . . . 8 ({𝐴, 𝑥} ∈ {{𝐴, 𝐵}} ↔ {𝐴, 𝑥} = {𝐴, 𝐵})
1613, 15syl6bb 275 . . . . . . 7 ((((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ({𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝐴, 𝑥} = {𝐴, 𝐵}))
17 simpr 476 . . . . . . . 8 ((((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺))
18 simpll3 1095 . . . . . . . 8 ((((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐵𝑉)
1917, 18preq2b 4318 . . . . . . 7 ((((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ({𝐴, 𝑥} = {𝐴, 𝐵} ↔ 𝑥 = 𝐵))
2016, 19bitrd 267 . . . . . 6 ((((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ({𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ 𝑥 = 𝐵))
2120pm5.32da 671 . . . . 5 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑥 = 𝐵)))
221umgr2v2evtx 40737 . . . . . . . . 9 (𝑉𝑊 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
23223ad2ant1 1075 . . . . . . . 8 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
24 eleq12 2678 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = 𝐵 ∧ (Vtx‘𝐺) = 𝑉) → (𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝐵𝑉))
2524exbiri 650 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐵 → ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 → (𝐵𝑉𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺))))
2625com13 86 . . . . . . . . 9 (𝐵𝑉 → ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 → (𝑥 = 𝐵𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺))))
27263ad2ant3 1077 . . . . . . . 8 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 → (𝑥 = 𝐵𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺))))
2823, 27mpd 15 . . . . . . 7 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝑥 = 𝐵𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)))
2928adantr 480 . . . . . 6 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥 = 𝐵𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)))
3029pm4.71rd 665 . . . . 5 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥 = 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑥 = 𝐵)))
3121, 30bitr4d 270 . . . 4 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ 𝑥 = 𝐵))
3231alrimiv 1842 . . 3 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → ∀𝑥((𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ 𝑥 = 𝐵))
33 rabeqsn 4161 . . 3 ({𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∣ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)} = {𝐵} ↔ ∀𝑥((𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ 𝑥 = 𝐵))
3432, 33sylibr 223 . 2 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → {𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∣ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)} = {𝐵})
359, 34eqtrd 2644 1 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐺 NeighbVtx 𝐴) = {𝐵})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031  ∀wal 1473   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {crab 2900  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816  Vtxcvtx 25673   UMGraph cumgr 25748  Edgcedga 25792   NeighbVtx cnbgr 40550 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-vtx 25675  df-iedg 25676  df-upgr 25749  df-umgr 25750  df-edga 25793  df-nbgr 40554 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator