Theorem umgr2v2enb1 40742

Description: In a multigraph with two edges connecting the same two vertices, each of the vertices has one neighbor. (Contributed by AV, 18-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgr2v2evtx.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩

Assertion

Ref	Expression
umgr2v2enb1	⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐺 NeighbVtx 𝐴) = {𝐵})

Proof of Theorem umgr2v2enb1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgr2v2evtx.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩
2	1	umgr2v2e 40741	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ UMGraph )
3	1	umgr2v2evtxel 40738	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
4	3	3adant3 1074	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
6		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
7		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
8	6, 7	nbumgrvtx 40568	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 NeighbVtx 𝐴) = {𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∣ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)})
9	2, 5, 8	syl2anc 691	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐺 NeighbVtx 𝐴) = {𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∣ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)})
10	1	umgr2v2eedg 40740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (Edg‘𝐺) = {{𝐴, 𝐵}})
11	10	eleq2d 2673	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ({𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝐴, 𝑥} ∈ {{𝐴, 𝐵}}))
12	11	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝐴, 𝑥} ∈ {{𝐴, 𝐵}}))
13	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ({𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝐴, 𝑥} ∈ {{𝐴, 𝐵}}))
14		prex 4836	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐴, 𝑥} ∈ V
15	14	elsn 4140	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴, 𝑥} ∈ {{𝐴, 𝐵}} ↔ {𝐴, 𝑥} = {𝐴, 𝐵})
16	13, 15	syl6bb 275	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ({𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝐴, 𝑥} = {𝐴, 𝐵}))
17		simpr 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺))
18		simpll3 1095	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
19	17, 18	preq2b 4318	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ({𝐴, 𝑥} = {𝐴, 𝐵} ↔ 𝑥 = 𝐵))
20	16, 19	bitrd 267	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ({𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ 𝑥 = 𝐵))
21	20	pm5.32da 671	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑥 = 𝐵)))
22	1	umgr2v2evtx 40737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
23	22	3ad2ant1 1075	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
24		eleq12 2678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝐵 ∧ (Vtx‘𝐺) = 𝑉) → (𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝐵 ∈ 𝑉))
25	24	exbiri 650	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 → (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺))))
26	25	com13 86	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 → (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺))))
27	26	3ad2ant3 1077	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 → (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺))))
28	23, 27	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)))
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)))
30	29	pm4.71rd 665	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑥 = 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑥 = 𝐵)))
31	21, 30	bitr4d 270	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ 𝑥 = 𝐵))
32	31	alrimiv 1842	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∀𝑥((𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ 𝑥 = 𝐵))
33		rabeqsn 4161	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∣ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)} = {𝐵} ↔ ∀𝑥((𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ 𝑥 = 𝐵))
34	32, 33	sylibr 223	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∣ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)} = {𝐵})
35	9, 34	eqtrd 2644	1 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐺 NeighbVtx 𝐴) = {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031  ∀wal 1473   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {crab 2900  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816  Vtxcvtx 25673   UMGraph cumgr 25748  Edgcedga 25792   NeighbVtx cnbgr 40550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-vtx 25675  df-iedg 25676  df-upgr 25749  df-umgr 25750  df-edga 25793  df-nbgr 40554

This theorem is referenced by: (None)