Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmsi 21747
 Description: The property of being a sum of the sequence 𝐹 in the topological commutative monoid 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eltsms.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
eltsms.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
eltsms.s 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
eltsms.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
eltsms.2 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
eltsms.a (𝜑𝐴𝑉)
eltsms.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
tsmsi.3 (𝜑𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
tsmsi.4 (𝜑𝑈𝐽)
tsmsi.5 (𝜑𝐶𝑈)
Assertion
Ref Expression
tsmsi (𝜑 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝑧,𝐹   𝑦,𝐺,𝑧   𝑧,𝐽   𝑧,𝐴   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑦,𝑧)   𝐽(𝑦)   𝑉(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem tsmsi
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsi.4 . 2 (𝜑𝑈𝐽)
2 tsmsi.3 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
3 eltsms.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 eltsms.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
5 eltsms.s . . . . 5 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
6 eltsms.1 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
7 eltsms.2 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
8 eltsms.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
9 eltsms.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
103, 4, 5, 6, 7, 8, 9eltsms 21746 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝐶𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))))
112, 10mpbid 221 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
1211simprd 478 . 2 (𝜑 → ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))
13 tsmsi.5 . 2 (𝜑𝐶𝑈)
14 eleq2 2677 . . . 4 (𝑢 = 𝑈 → (𝐶𝑢𝐶𝑈))
15 eleq2 2677 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑈))
1615imbi2d 329 . . . . 5 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢) ↔ (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑈)))
1716rexralbidv 3040 . . . 4 (𝑢 = 𝑈 → (∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑈)))
1814, 17imbi12d 333 . . 3 (𝑢 = 𝑈 → ((𝐶𝑢 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)) ↔ (𝐶𝑈 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑈))))
1918rspcv 3278 . 2 (𝑈𝐽 → (∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)) → (𝐶𝑈 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑈))))
201, 12, 13, 19syl3c 64 1 (𝜑 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑈))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  Basecbs 15695  TopOpenctopn 15905   Σg cgsu 15924  CMndccmn 18016  TopSpctps 20519   tsums ctsu 21739 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-top 20521  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-ntr 20634  df-nei 20712  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-tsms 21740 This theorem is referenced by:  tsmsxplem1  21766
 Copyright terms: Public domain W3C validator