MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsi Structured version   Unicode version

Theorem tsmsi 19702
Description: The property of being a sum of the sequence  F in the topological commutative monoid  G. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eltsms.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
eltsms.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
eltsms.s  |-  S  =  ( ~P A  i^i  Fin )
eltsms.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
eltsms.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
eltsms.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
eltsms.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
tsmsi.3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( G tsums 
F ) )
tsmsi.4  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
tsmsi.5  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
Assertion
Ref Expression
tsmsi  |-  ( ph  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  U
) )
Distinct variable groups:    y, B    y, z, F    y, G, z    z, J    z, A    ph, y, z    y, S, z    y, U, z
Allowed substitution hints:    A( y)    B( z)    C( y, z)    J( y)    V( y, z)

Proof of Theorem tsmsi
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsi.4 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
2 tsmsi.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( G tsums 
F ) )
3 eltsms.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
4 eltsms.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
5 eltsms.s . . . . 5  |-  S  =  ( ~P A  i^i  Fin )
6 eltsms.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
7 eltsms.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
8 eltsms.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
9 eltsms.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
103, 4, 5, 6, 7, 8, 9eltsms 19701 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( G tsums  F )  <->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) ) ) ) )
112, 10mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) ) ) )
1211simprd 463 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) ) )
13 tsmsi.5 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
14 eleq2 2502 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  ( C  e.  u  <->  C  e.  U ) )
15 eleq2 2502 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  U
) )
1615imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  (
( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
)  <->  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  U ) ) )
1716rexralbidv 2757 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  ( E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
)  <->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  U
) ) )
1814, 17imbi12d 320 . . 3  |-  ( u  =  U  ->  (
( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) )  <->  ( C  e.  U  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  U ) ) ) )
1918rspcv 3067 . 2  |-  ( U  e.  J  ->  ( A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) )  ->  ( C  e.  U  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  (
z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  U
) ) ) )
201, 12, 13, 19syl3c 61 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  U
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   E.wrex 2714    i^i cin 3325    C_ wss 3326   ~Pcpw 3858    |` cres 4840   -->wf 5412   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   Fincfn 7308   Basecbs 14172   TopOpenctopn 14358    gsumg cgsu 14377  CMndccmn 16275   TopSpctps 18499   tsums ctsu 19694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-supp 6689  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fsupp 7619  df-oi 7722  df-card 8107  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-seq 11805  df-hash 12102  df-0g 14378  df-gsum 14379  df-mnd 15413  df-cntz 15833  df-cmn 16277  df-fbas 17812  df-fg 17813  df-top 18501  df-topon 18504  df-topsp 18505  df-ntr 18622  df-nei 18700  df-fil 19417  df-fm 19509  df-flim 19510  df-flf 19511  df-tsms 19695
This theorem is referenced by:  tsmsxplem1  19725
  Copyright terms: Public domain W3C validator