Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoicl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendoicl 35102
 Description: Closure of the additive inverse endomorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoicl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoicl.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoicl.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendoicl.i 𝐼 = (𝑠𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑠𝑓)))
Assertion
Ref Expression
tendoicl (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝐼𝑆) ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝑓,𝑠,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑠)   𝐼(𝑓,𝑠)   𝐾(𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendoicl
Dummy variables 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . 2 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 tendoicl.h . 2 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 tendoicl.t . 2 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2610 . 2 ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
5 tendoicl.e . 2 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6 simpl 472 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 simpll 786 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
82, 3, 5tendocl 35073 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝑔𝑇) → (𝑆𝑔) ∈ 𝑇)
983expa 1257 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆𝑔) ∈ 𝑇)
102, 3ltrncnv 34450 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝑔) ∈ 𝑇) → (𝑆𝑔) ∈ 𝑇)
117, 9, 10syl2anc 691 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆𝑔) ∈ 𝑇)
12 eqid 2610 . . . 4 (𝑔𝑇(𝑆𝑔)) = (𝑔𝑇(𝑆𝑔))
1311, 12fmptd 6292 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝑔𝑇(𝑆𝑔)):𝑇𝑇)
14 tendoicl.i . . . . . 6 𝐼 = (𝑠𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑠𝑓)))
1514, 3tendoi 35100 . . . . 5 (𝑆𝐸 → (𝐼𝑆) = (𝑔𝑇(𝑆𝑔)))
1615adantl 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝐼𝑆) = (𝑔𝑇(𝑆𝑔)))
1716feq1d 5943 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → ((𝐼𝑆):𝑇𝑇 ↔ (𝑔𝑇(𝑆𝑔)):𝑇𝑇))
1813, 17mpbird 246 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝐼𝑆):𝑇𝑇)
19 simp1r 1079 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → 𝑆𝐸)
202, 3ltrnco 35025 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → (𝑔) ∈ 𝑇)
21203adant1r 1311 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → (𝑔) ∈ 𝑇)
2214, 3tendoi2 35101 . . . 4 ((𝑆𝐸 ∧ (𝑔) ∈ 𝑇) → ((𝐼𝑆)‘(𝑔)) = (𝑆‘(𝑔)))
2319, 21, 22syl2anc 691 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → ((𝐼𝑆)‘(𝑔)) = (𝑆‘(𝑔)))
24 cnvco 5230 . . . 4 ((𝑆) ∘ (𝑆𝑔)) = ((𝑆𝑔) ∘ (𝑆))
252, 3ltrncom 35044 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → (𝑔) = (𝑔))
26253adant1r 1311 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → (𝑔) = (𝑔))
2726fveq2d 6107 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → (𝑆‘(𝑔)) = (𝑆‘(𝑔)))
28 simp1ll 1117 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
29 simp1lr 1118 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → 𝑊𝐻)
30 simp3 1056 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → 𝑇)
31 simp2 1055 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → 𝑔𝑇)
322, 3, 5tendovalco 35071 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑆𝐸) ∧ (𝑇𝑔𝑇)) → (𝑆‘(𝑔)) = ((𝑆) ∘ (𝑆𝑔)))
3328, 29, 19, 30, 31, 32syl32anc 1326 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → (𝑆‘(𝑔)) = ((𝑆) ∘ (𝑆𝑔)))
3427, 33eqtrd 2644 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → (𝑆‘(𝑔)) = ((𝑆) ∘ (𝑆𝑔)))
3534cnveqd 5220 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → (𝑆‘(𝑔)) = ((𝑆) ∘ (𝑆𝑔)))
3614, 3tendoi2 35101 . . . . . 6 ((𝑆𝐸𝑔𝑇) → ((𝐼𝑆)‘𝑔) = (𝑆𝑔))
3719, 31, 36syl2anc 691 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → ((𝐼𝑆)‘𝑔) = (𝑆𝑔))
3814, 3tendoi2 35101 . . . . . 6 ((𝑆𝐸𝑇) → ((𝐼𝑆)‘) = (𝑆))
3919, 30, 38syl2anc 691 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → ((𝐼𝑆)‘) = (𝑆))
4037, 39coeq12d 5208 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → (((𝐼𝑆)‘𝑔) ∘ ((𝐼𝑆)‘)) = ((𝑆𝑔) ∘ (𝑆)))
4124, 35, 403eqtr4a 2670 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → (𝑆‘(𝑔)) = (((𝐼𝑆)‘𝑔) ∘ ((𝐼𝑆)‘)))
4223, 41eqtrd 2644 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → ((𝐼𝑆)‘(𝑔)) = (((𝐼𝑆)‘𝑔) ∘ ((𝐼𝑆)‘)))
4336adantll 746 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝐼𝑆)‘𝑔) = (𝑆𝑔))
4443fveq2d 6107 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝐼𝑆)‘𝑔)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆𝑔)))
452, 3, 4trlcnv 34470 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝑔) ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆𝑔)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆𝑔)))
467, 9, 45syl2anc 691 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆𝑔)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆𝑔)))
4744, 46eqtrd 2644 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝐼𝑆)‘𝑔)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆𝑔)))
481, 2, 3, 4, 5tendotp 35067 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝑔𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆𝑔))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))
49483expa 1257 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆𝑔))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))
5047, 49eqbrtrd 4605 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝐼𝑆)‘𝑔))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))
511, 2, 3, 4, 5, 6, 18, 42, 50istendod 35068 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝐼𝑆) ∈ 𝐸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ◡ccnv 5037   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  lecple 15775  HLchlt 33655  LHypclh 34288  LTrncltrn 34405  trLctrl 34463  TEndoctendo 35058 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-riotaBAD 33257 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-undef 7286  df-map 7746  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803  df-lvols 33804  df-lines 33805  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464  df-tendo 35061 This theorem is referenced by:  tendoipl  35103  tendoipl2  35104  erngdvlem1  35294  erngdvlem1-rN  35302  dihjatcclem4  35728
 Copyright terms: Public domain W3C validator