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Theorem tendoicl 36935
Description: Closure of the additive inverse endomorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoicl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendoicl.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendoicl.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
tendoicl.i  |-  I  =  ( s  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( s `  f ) ) )
Assertion
Ref Expression
tendoicl  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( I `  S )  e.  E
)
Distinct variable groups:    E, s    f, s, T    f, W, s
Allowed substitution hints:    S( f, s)    E( f)    H( f, s)    I( f, s)    K( f, s)

Proof of Theorem tendoicl
Dummy variables  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2382 . 2  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
2 tendoicl.h . 2  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 tendoicl.t . 2  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
4 eqid 2382 . 2  |-  ( ( trL `  K ) `
 W )  =  ( ( trL `  K
) `  W )
5 tendoicl.e . 2  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
6 simpl 455 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 simpll 751 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
82, 3, 5tendocl 36906 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  g  e.  T
)  ->  ( S `  g )  e.  T
)
983expa 1194 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( S `  g )  e.  T )
102, 3ltrncnv 36283 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S `  g )  e.  T
)  ->  `' ( S `  g )  e.  T )
117, 9, 10syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  `' ( S `  g )  e.  T )
12 eqid 2382 . . . 4  |-  ( g  e.  T  |->  `' ( S `  g ) )  =  ( g  e.  T  |->  `' ( S `  g ) )
1311, 12fmptd 5957 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( g  e.  T  |->  `' ( S `  g ) ) : T --> T )
14 tendoicl.i . . . . . 6  |-  I  =  ( s  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( s `  f ) ) )
1514, 3tendoi 36933 . . . . 5  |-  ( S  e.  E  ->  (
I `  S )  =  ( g  e.  T  |->  `' ( S `
 g ) ) )
1615adantl 464 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( I `  S )  =  ( g  e.  T  |->  `' ( S `  g
) ) )
1716feq1d 5625 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( (
I `  S ) : T --> T  <->  ( g  e.  T  |->  `' ( S `  g ) ) : T --> T ) )
1813, 17mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( I `  S ) : T --> T )
19 simp1r 1019 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  S  e.  E )
202, 3ltrnco 36858 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T
)  ->  ( g  o.  h )  e.  T
)
21203adant1r 1219 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  (
g  o.  h )  e.  T )
2214, 3tendoi2 36934 . . . 4  |-  ( ( S  e.  E  /\  ( g  o.  h
)  e.  T )  ->  ( ( I `
 S ) `  ( g  o.  h
) )  =  `' ( S `  ( g  o.  h ) ) )
2319, 21, 22syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  (
( I `  S
) `  ( g  o.  h ) )  =  `' ( S `  ( g  o.  h
) ) )
24 cnvco 5101 . . . 4  |-  `' ( ( S `  h
)  o.  ( S `
 g ) )  =  ( `' ( S `  g )  o.  `' ( S `
 h ) )
252, 3ltrncom 36877 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T
)  ->  ( g  o.  h )  =  ( h  o.  g ) )
26253adant1r 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  (
g  o.  h )  =  ( h  o.  g ) )
2726fveq2d 5778 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  ( S `  ( g  o.  h ) )  =  ( S `  (
h  o.  g ) ) )
28 simp1ll 1057 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  K  e.  HL )
29 simp1lr 1058 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  W  e.  H )
30 simp3 996 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  h  e.  T )
31 simp2 995 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  g  e.  T )
322, 3, 5tendovalco 36904 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  S  e.  E )  /\  ( h  e.  T  /\  g  e.  T
) )  ->  ( S `  ( h  o.  g ) )  =  ( ( S `  h )  o.  ( S `  g )
) )
3328, 29, 19, 30, 31, 32syl32anc 1234 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  ( S `  ( h  o.  g ) )  =  ( ( S `  h )  o.  ( S `  g )
) )
3427, 33eqtrd 2423 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  ( S `  ( g  o.  h ) )  =  ( ( S `  h )  o.  ( S `  g )
) )
3534cnveqd 5091 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  `' ( S `  ( g  o.  h ) )  =  `' ( ( S `  h )  o.  ( S `  g ) ) )
3614, 3tendoi2 36934 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  E  /\  g  e.  T )  ->  ( ( I `  S ) `  g
)  =  `' ( S `  g ) )
3719, 31, 36syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  (
( I `  S
) `  g )  =  `' ( S `  g ) )
3814, 3tendoi2 36934 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  E  /\  h  e.  T )  ->  ( ( I `  S ) `  h
)  =  `' ( S `  h ) )
3919, 30, 38syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  (
( I `  S
) `  h )  =  `' ( S `  h ) )
4037, 39coeq12d 5080 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  (
( ( I `  S ) `  g
)  o.  ( ( I `  S ) `
 h ) )  =  ( `' ( S `  g )  o.  `' ( S `
 h ) ) )
4124, 35, 403eqtr4a 2449 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  `' ( S `  ( g  o.  h ) )  =  ( ( ( I `  S ) `
 g )  o.  ( ( I `  S ) `  h
) ) )
4223, 41eqtrd 2423 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  (
( I `  S
) `  ( g  o.  h ) )  =  ( ( ( I `
 S ) `  g )  o.  (
( I `  S
) `  h )
) )
4336adantll 711 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( I `  S
) `  g )  =  `' ( S `  g ) )
4443fveq2d 5778 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( ( I `  S ) `  g
) )  =  ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  `' ( S `  g ) ) )
452, 3, 4trlcnv 36303 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S `  g )  e.  T
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  `' ( S `  g ) )  =  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( S `  g ) ) )
467, 9, 45syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  `' ( S `  g ) )  =  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( S `  g ) ) )
4744, 46eqtrd 2423 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( ( I `  S ) `  g
) )  =  ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  ( S `  g
) ) )
481, 2, 3, 4, 5tendotp 36900 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  g  e.  T
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( S `  g
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  g ) )
49483expa 1194 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( S `  g
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  g ) )
5047, 49eqbrtrd 4387 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( ( I `  S ) `  g
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  g ) )
511, 2, 3, 4, 5, 6, 18, 42, 50istendod 36901 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( I `  S )  e.  E
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425   `'ccnv 4912    o. ccom 4917   -->wf 5492   ` cfv 5496   lecple 14709   HLchlt 35488   LHypclh 36121   LTrncltrn 36238   trLctrl 36296   TEndoctendo 36891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-riotaBAD 35097
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-undef 6920  df-map 7340  df-preset 15674  df-poset 15692  df-plt 15705  df-lub 15721  df-glb 15722  df-join 15723  df-meet 15724  df-p0 15786  df-p1 15787  df-lat 15793  df-clat 15855  df-oposet 35314  df-ol 35316  df-oml 35317  df-covers 35404  df-ats 35405  df-atl 35436  df-cvlat 35460  df-hlat 35489  df-llines 35635  df-lplanes 35636  df-lvols 35637  df-lines 35638  df-psubsp 35640  df-pmap 35641  df-padd 35933  df-lhyp 36125  df-laut 36126  df-ldil 36241  df-ltrn 36242  df-trl 36297  df-tendo 36894
This theorem is referenced by:  tendoipl  36936  tendoipl2  36937  erngdvlem1  37127  erngdvlem1-rN  37135  dihjatcclem4  37561
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