Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgfixels Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgfixels 17677
 Description: The restriction of a permutation to a set with one element removed is an element of the restricted symmetric group if the restriction is a 1-1 onto function. (Contributed by AV, 4-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgfixf.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
symgfixf.q 𝑄 = {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}
symgfixf.s 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgfixf.d 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾})
Assertion
Ref Expression
symgfixels (𝐹𝑉 → ((𝐹𝐷) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝐷):𝐷1-1-onto𝐷))
Distinct variable groups:   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑞)   𝑄(𝑞)   𝑆(𝑞)   𝐹(𝑞)   𝑁(𝑞)   𝑉(𝑞)

Proof of Theorem symgfixels
StepHypRef Expression
1 symgfixf.s . . . 4 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
21eleq2i 2680 . . 3 ((𝐹𝐷) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝐷) ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))))
32a1i 11 . 2 (𝐹𝑉 → ((𝐹𝐷) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝐷) ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))))
4 resexg 5362 . . 3 (𝐹𝑉 → (𝐹𝐷) ∈ V)
5 eqid 2610 . . . 4 (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
6 eqid 2610 . . . 4 (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
75, 6elsymgbas2 17624 . . 3 ((𝐹𝐷) ∈ V → ((𝐹𝐷) ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↔ (𝐹𝐷):(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾})))
84, 7syl 17 . 2 (𝐹𝑉 → ((𝐹𝐷) ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↔ (𝐹𝐷):(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾})))
9 eqidd 2611 . . 3 (𝐹𝑉 → (𝐹𝐷) = (𝐹𝐷))
10 symgfixf.d . . . . 5 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾})
1110a1i 11 . . . 4 (𝐹𝑉𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾}))
1211eqcomd 2616 . . 3 (𝐹𝑉 → (𝑁 ∖ {𝐾}) = 𝐷)
139, 12, 12f1oeq123d 6046 . 2 (𝐹𝑉 → ((𝐹𝐷):(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) ↔ (𝐹𝐷):𝐷1-1-onto𝐷))
143, 8, 133bitrd 293 1 (𝐹𝑉 → ((𝐹𝐷) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝐷):𝐷1-1-onto𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537  {csn 4125   ↾ cres 5040  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  SymGrpcsymg 17620 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-tset 15787  df-symg 17621 This theorem is referenced by:  symgfixelsi  17678
 Copyright terms: Public domain W3C validator