MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgfixels Structured version   Unicode version

Theorem symgfixels 16673
Description: The restriction of a permutation to a set with one element removed is an element of the restricted symmetric group if the restriction is a 1-1 onto function. (Contributed by AV, 4-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgfixf.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
symgfixf.q  |-  Q  =  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K }
symgfixf.s  |-  S  =  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )
symgfixf.d  |-  D  =  ( N  \  { K } )
Assertion
Ref Expression
symgfixels  |-  ( F  e.  V  ->  (
( F  |`  D )  e.  S  <->  ( F  |`  D ) : D -1-1-onto-> D
) )
Distinct variable groups:    K, q    P, q
Allowed substitution hints:    D( q)    Q( q)    S( q)    F( q)    N( q)    V( q)

Proof of Theorem symgfixels
StepHypRef Expression
1 symgfixf.s . . . 4  |-  S  =  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )
21eleq2i 2478 . . 3  |-  ( ( F  |`  D )  e.  S  <->  ( F  |`  D )  e.  (
Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) ) )
32a1i 11 . 2  |-  ( F  e.  V  ->  (
( F  |`  D )  e.  S  <->  ( F  |`  D )  e.  (
Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) ) ) )
4 resexg 5255 . . 3  |-  ( F  e.  V  ->  ( F  |`  D )  e. 
_V )
5 eqid 2400 . . . 4  |-  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) )  =  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) )
6 eqid 2400 . . . 4  |-  ( Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) )  =  (
Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) )
75, 6elsymgbas2 16620 . . 3  |-  ( ( F  |`  D )  e.  _V  ->  ( ( F  |`  D )  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )  <->  ( F  |`  D ) : ( N  \  { K } ) -1-1-onto-> ( N  \  { K } ) ) )
84, 7syl 17 . 2  |-  ( F  e.  V  ->  (
( F  |`  D )  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )  <->  ( F  |`  D ) : ( N  \  { K } ) -1-1-onto-> ( N  \  { K } ) ) )
9 eqidd 2401 . . 3  |-  ( F  e.  V  ->  ( F  |`  D )  =  ( F  |`  D ) )
10 symgfixf.d . . . . 5  |-  D  =  ( N  \  { K } )
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( F  e.  V  ->  D  =  ( N  \  { K } ) )
1211eqcomd 2408 . . 3  |-  ( F  e.  V  ->  ( N  \  { K }
)  =  D )
139, 12, 12f1oeq123d 5750 . 2  |-  ( F  e.  V  ->  (
( F  |`  D ) : ( N  \  { K } ) -1-1-onto-> ( N 
\  { K }
)  <->  ( F  |`  D ) : D -1-1-onto-> D
) )
143, 8, 133bitrd 279 1  |-  ( F  e.  V  ->  (
( F  |`  D )  e.  S  <->  ( F  |`  D ) : D -1-1-onto-> D
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1403    e. wcel 1840   {crab 2755   _Vcvv 3056    \ cdif 3408   {csn 3969    |` cres 4942   -1-1-onto->wf1o 5522   ` cfv 5523   Basecbs 14731   SymGrpcsymg 16616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-7 10558  df-8 10559  df-9 10560  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-fz 11642  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-plusg 14812  df-tset 14818  df-symg 16617
This theorem is referenced by:  symgfixelsi  16674
  Copyright terms: Public domain W3C validator