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Theorem ssfiunibd 38464
 Description: A finite union of bounded sets is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ssfiunibd.fi (𝜑𝐴 ∈ Fin)
ssfiunibd.b ((𝜑𝑧 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
ssfiunibd.bd ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦)
ssfiunibd.ssun (𝜑𝐶 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ssfiunibd (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐶 𝐵𝑤)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑤,𝐴,𝑥,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦   𝑤,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem ssfiunibd
Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssfiunibd.fi . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 simpll 786 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥) → 𝜑)
3 19.8a 2039 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑥𝑥𝐴) → ∃𝑥(𝑧𝑥𝑥𝐴))
43ancoms 468 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝑧𝑥) → ∃𝑥(𝑧𝑥𝑥𝐴))
5 eluni 4375 . . . . . . . . 9 (𝑧 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑧𝑥𝑥𝐴))
64, 5sylibr 223 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝑧 𝐴)
76adantll 746 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥) → 𝑧 𝐴)
8 ssfiunibd.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
92, 7, 8syl2anc 691 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
10 ssfiunibd.bd . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦)
11 eqid 2610 . . . . . 6 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
129, 10, 11upbdrech2 38463 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵 ≤ if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))))
1312simpld 474 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
1413ralrimiva 2949 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
15 fimaxre3 10849 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
161, 14, 15syl2anc 691 . 2 (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
17 nfv 1830 . . . . . 6 𝑧(𝜑𝑤 ∈ ℝ)
18 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑧𝐴
19 nfv 1830 . . . . . . . . 9 𝑧 𝑥 = ∅
20 nfcv 2751 . . . . . . . . 9 𝑧0
21 nfre1 2988 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵
2221nfab 2755 . . . . . . . . . 10 𝑧{𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}
23 nfcv 2751 . . . . . . . . . 10 𝑧
24 nfcv 2751 . . . . . . . . . 10 𝑧 <
2522, 23, 24nfsup 8240 . . . . . . . . 9 𝑧sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )
2619, 20, 25nfif 4065 . . . . . . . 8 𝑧if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
27 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑧
28 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑧𝑤
2926, 27, 28nfbr 4629 . . . . . . 7 𝑧if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤
3018, 29nfral 2929 . . . . . 6 𝑧𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤
3117, 30nfan 1816 . . . . 5 𝑧((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
32 ssfiunibd.ssun . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 𝐴)
3332sselda 3568 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐶) → 𝑧 𝐴)
3433, 5sylib 207 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐶) → ∃𝑥(𝑧𝑥𝑥𝐴))
35 exancom 1774 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥(𝑧𝑥𝑥𝐴) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑧𝑥))
3634, 35sylib 207 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐶) → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑧𝑥))
37 df-rex 2902 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐴 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑧𝑥))
3836, 37sylibr 223 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐶) → ∃𝑥𝐴 𝑧𝑥)
3938ad4ant14 1285 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧𝐶) → ∃𝑥𝐴 𝑧𝑥)
40 nfv 1830 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝜑𝑤 ∈ ℝ)
41 nfra1 2925 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤
4240, 41nfan 1816 . . . . . . . . 9 𝑥((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
43 nfv 1830 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑧𝐶
4442, 43nfan 1816 . . . . . . . 8 𝑥(((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧𝐶)
45 nfv 1830 . . . . . . . 8 𝑥 𝐵𝑤
4693impa 1251 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
47463adant1r 1311 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
48473adant1r 1311 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
49 n0i 3879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝑥 → ¬ 𝑥 = ∅)
5049adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴𝑧𝑥) → ¬ 𝑥 = ∅)
5150iffalsed 4047 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴𝑧𝑥) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) = sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
5251eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )))
53523adant1 1072 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )))
54133adant3 1074 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
5553, 54eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
56553adant1r 1311 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
57563adant1r 1311 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
58 simp1lr 1118 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝑤 ∈ ℝ)
59 nfv 1830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑢(𝜑𝑥𝐴)
60 nfab1 2753 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑢{𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}
61 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑢
62 abid 2598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} ↔ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵)
6362biimpi 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} → ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵)
6463adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵)
65 nfv 1830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑧(𝜑𝑥𝐴)
6621nfsab 2602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑧 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}
6765, 66nfan 1816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑧((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵})
68 nfv 1830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑧 𝑢 ∈ ℝ
69 simp3 1056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥𝑢 = 𝐵) → 𝑢 = 𝐵)
7093adant3 1074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥𝑢 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7169, 70eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥𝑢 = 𝐵) → 𝑢 ∈ ℝ)
72713exp 1256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑧𝑥 → (𝑢 = 𝐵𝑢 ∈ ℝ)))
7372adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (𝑧𝑥 → (𝑢 = 𝐵𝑢 ∈ ℝ)))
7467, 68, 73rexlimd 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵𝑢 ∈ ℝ))
7564, 74mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → 𝑢 ∈ ℝ)
7675ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} → 𝑢 ∈ ℝ))
7759, 60, 61, 76ssrd 3573 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} ⊆ ℝ)
78773adant3 1074 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} ⊆ ℝ)
79 simp3 1056 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝑧𝑥)
80 elabrexg 38229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧𝑥𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵})
8179, 46, 80syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵})
82 ne0i 3880 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} → {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} ≠ ∅)
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} ≠ ∅)
84 abid 2598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵} ↔ ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵)
8584biimpi 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵} → ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵)
86 eqeq1 2614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑢 = 𝑣 → (𝑢 = 𝐵𝑣 = 𝐵))
8786rexbidv 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑢 = 𝑣 → (∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵 ↔ ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵))
8887cbvabv 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} = {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵}
8985, 88eleq2s 2706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} → ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵)
9089adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵)
91 nfra1 2925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑧𝑧𝑥 𝐵𝑦
9265, 91nfan 1816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑧((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦)
9321nfsab 2602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑧 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}
9492, 93nfan 1816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑧(((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵})
95 nfv 1830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑧 𝑣𝑦
96 simp3 1056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((∀𝑧𝑥 𝐵𝑦𝑧𝑥𝑣 = 𝐵) → 𝑣 = 𝐵)
97 rspa 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((∀𝑧𝑥 𝐵𝑦𝑧𝑥) → 𝐵𝑦)
98973adant3 1074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((∀𝑧𝑥 𝐵𝑦𝑧𝑥𝑣 = 𝐵) → 𝐵𝑦)
9996, 98eqbrtrd 4605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((∀𝑧𝑥 𝐵𝑦𝑧𝑥𝑣 = 𝐵) → 𝑣𝑦)
100993exp 1256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∀𝑧𝑥 𝐵𝑦 → (𝑧𝑥 → (𝑣 = 𝐵𝑣𝑦)))
101100adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) → (𝑧𝑥 → (𝑣 = 𝐵𝑣𝑦)))
102101adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (𝑧𝑥 → (𝑣 = 𝐵𝑣𝑦)))
10394, 95, 102rexlimd 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵𝑣𝑦))
10490, 103mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → 𝑣𝑦)
105104ralrimiva 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) → ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣𝑦)
106105ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑧𝑥 𝐵𝑦 → ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣𝑦))
107106reximdv 2999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣𝑦))
10810, 107mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣𝑦)
1091083adant3 1074 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣𝑦)
110 suprub 10863 . . . . . . . . . . . . . 14 ((({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} ⊆ ℝ ∧ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣𝑦) ∧ 𝐵 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
11178, 83, 109, 81, 110syl31anc 1321 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
1121113adant1r 1311 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
1131123adant1r 1311 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
114523adant1 1072 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )))
115 rspa 2914 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤𝑥𝐴) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
1161153adant3 1074 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤𝑥𝐴𝑧𝑥) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
117114, 116eqbrtrd 4605 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝑤)
1181173adant1l 1310 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝑤)
11948, 57, 58, 113, 118letrd 10073 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵𝑤)
1201193exp 1256 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) → (𝑥𝐴 → (𝑧𝑥𝐵𝑤)))
121120adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧𝐶) → (𝑥𝐴 → (𝑧𝑥𝐵𝑤)))
12244, 45, 121rexlimd 3008 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧𝐶) → (∃𝑥𝐴 𝑧𝑥𝐵𝑤))
12339, 122mpd 15 . . . . . 6 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧𝐶) → 𝐵𝑤)
124123ex 449 . . . . 5 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) → (𝑧𝐶𝐵𝑤))
12531, 124ralrimi 2940 . . . 4 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) → ∀𝑧𝐶 𝐵𝑤)
126125ex 449 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 → ∀𝑧𝐶 𝐵𝑤))
127126reximdva 3000 . 2 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐶 𝐵𝑤))
12816, 127mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐶 𝐵𝑤)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  {cab 2596   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ifcif 4036  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583  Fincfn 7841  supcsup 8229  ℝcr 9814  0cc0 9815   < clt 9953   ≤ cle 9954 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148 This theorem is referenced by:  fourierdlem70  39069  fourierdlem71  39070  fourierdlem80  39079
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