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Theorem ssfiunibd 31691
Description: A finite union of bounded sets is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ssfiunibd.fi  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
ssfiunibd.b  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. A )  ->  B  e.  RR )
ssfiunibd.bd  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  x  B  <_  y
)
ssfiunibd.ssun  |-  ( ph  ->  C  C_  U. A )
Assertion
Ref Expression
ssfiunibd  |-  ( ph  ->  E. w  e.  RR  A. z  e.  C  B  <_  w )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    w, A, x, z    x, B, y   
w, B    x, C    ph, x, y, z    ph, w
Allowed substitution hints:    B( z)    C( y, z, w)

Proof of Theorem ssfiunibd
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssfiunibd.fi . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  z  e.  x )  ->  ph )
3 19.8a 1858 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  E. x ( z  e.  x  /\  x  e.  A ) )
43ancoms 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  E. x ( z  e.  x  /\  x  e.  A ) )
5 eluni 4254 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  U. A  <->  E. x
( z  e.  x  /\  x  e.  A
) )
64, 5sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  z  e.  U. A
)
76adantll 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  z  e.  x )  ->  z  e.  U. A )
8 ssfiunibd.b . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. A )  ->  B  e.  RR )
92, 7, 8syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  z  e.  x )  ->  B  e.  RR )
10 ssfiunibd.bd . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  x  B  <_  y
)
11 eqid 2457 . . . . . 6  |-  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  =  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )
129, 10, 11upbdrech2 31690 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  e.  RR  /\  A. z  e.  x  B  <_  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) ) ) )
1312simpld 459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  e.  RR )
1413ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  e.  RR )
15 fimaxre3 10512 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  e.  RR )  ->  E. w  e.  RR  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w
)
161, 14, 15syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  E. w  e.  RR  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w
)
17 nfv 1708 . . . . . 6  |-  F/ z ( ph  /\  w  e.  RR )
18 nfcv 2619 . . . . . . 7  |-  F/_ z A
19 nfv 1708 . . . . . . . . 9  |-  F/ z  x  =  (/)
20 nfcv 2619 . . . . . . . . 9  |-  F/_ z
0
21 nfre1 2918 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z E. z  e.  x  u  =  B
2221nfab 2623 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }
23 nfcv 2619 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z RR
24 nfcv 2619 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z  <
2522, 23, 24nfsup 7928 . . . . . . . . 9  |-  F/_ z sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )
2619, 20, 25nfif 3973 . . . . . . . 8  |-  F/_ z if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )
27 nfcv 2619 . . . . . . . 8  |-  F/_ z  <_
28 nfcv 2619 . . . . . . . 8  |-  F/_ z
w
2926, 27, 28nfbr 4500 . . . . . . 7  |-  F/ z if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w
3018, 29nfral 2843 . . . . . 6  |-  F/ z A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w
3117, 30nfan 1929 . . . . 5  |-  F/ z ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )
32 ssfiunibd.ssun . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  C_  U. A )
3332sselda 3499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  C )  ->  z  e.  U. A )
3433, 5sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  C )  ->  E. x
( z  e.  x  /\  x  e.  A
) )
35 exancom 1672 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x ( z  e.  x  /\  x  e.  A )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  z  e.  x
) )
3634, 35sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  C )  ->  E. x
( x  e.  A  /\  z  e.  x
) )
37 df-rex 2813 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  A  z  e.  x  <->  E. x
( x  e.  A  /\  z  e.  x
) )
3836, 37sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  C )  ->  E. x  e.  A  z  e.  x )
3938adant423 31607 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )  /\  z  e.  C )  ->  E. x  e.  A  z  e.  x )
40 nfv 1708 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( ph  /\  w  e.  RR )
41 nfra1 2838 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w
4240, 41nfan 1929 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )
43 nfv 1708 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  z  e.  C
4442, 43nfan 1929 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )
)  <_  w )  /\  z  e.  C
)
45 nfv 1708 . . . . . . . 8  |-  F/ x  B  <_  w
4693impa 1191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  B  e.  RR )
47463adant1r 1221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  B  e.  RR )
48473adant1r 1221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  B  e.  RR )
49 n0i 3798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  x  ->  -.  x  =  (/) )
5049adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  -.  x  =  (/) )
5150iffalsed 3955 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )
)
5251eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )  =  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) ) )
53523adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )  =  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) ) )
54133adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  if (
x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  e.  RR )
5553, 54eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
56553adant1r 1221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
57563adant1r 1221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
58 simp1lr 1060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  w  e.  RR )
59 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ u
( ph  /\  x  e.  A )
60 nfab1 2621 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ u { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }
61 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ u RR
62 abid 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  <->  E. z  e.  x  u  =  B )
6362biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  ->  E. z  e.  x  u  =  B )
6463adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  u  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } )  ->  E. z  e.  x  u  =  B )
65 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ z ( ph  /\  x  e.  A )
6621nfsab 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ z  u  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }
6765, 66nfan 1929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ z ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  u  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }
)
68 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ z  u  e.  RR
69 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  z  e.  x  /\  u  =  B )  ->  u  =  B )
7093adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  z  e.  x  /\  u  =  B )  ->  B  e.  RR )
7169, 70eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  z  e.  x  /\  u  =  B )  ->  u  e.  RR )
72713exp 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
z  e.  x  -> 
( u  =  B  ->  u  e.  RR ) ) )
7372adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  u  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } )  -> 
( z  e.  x  ->  ( u  =  B  ->  u  e.  RR ) ) )
7467, 68, 73rexlimd 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  u  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } )  -> 
( E. z  e.  x  u  =  B  ->  u  e.  RR ) )
7564, 74mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  u  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } )  ->  u  e.  RR )
7675ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
u  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  ->  u  e.  RR ) )
7759, 60, 61, 76ssrd 3504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  C_  RR )
78773adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  C_  RR )
79 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  z  e.  x )
80 elabrexg 31612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  x  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }
)
8179, 46, 80syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  B  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } )
82 ne0i 3799 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  ->  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  =/=  (/) )
8381, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  =/=  (/) )
84 abid 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  e.  { v  |  E. z  e.  x  v  =  B }  <->  E. z  e.  x  v  =  B )
8584biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  e.  { v  |  E. z  e.  x  v  =  B }  ->  E. z  e.  x  v  =  B )
86 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( u  =  v  ->  (
u  =  B  <->  v  =  B ) )
8786rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( u  =  v  ->  ( E. z  e.  x  u  =  B  <->  E. z  e.  x  v  =  B ) )
8887cbvabv 2600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  =  { v  |  E. z  e.  x  v  =  B }
8985, 88eleq2s 2565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  ->  E. z  e.  x  v  =  B )
9089adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  A. z  e.  x  B  <_  y )  /\  v  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }
)  ->  E. z  e.  x  v  =  B )
91 nfra1 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ z A. z  e.  x  B  <_  y
9265, 91nfan 1929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ z ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  A. z  e.  x  B  <_  y )
9321nfsab 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ z  v  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }
9492, 93nfan 1929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ z ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  A. z  e.  x  B  <_  y
)  /\  v  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } )
95 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ z  v  <_  y
96 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A. z  e.  x  B  <_  y  /\  z  e.  x  /\  v  =  B )  ->  v  =  B )
97 rspa 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A. z  e.  x  B  <_  y  /\  z  e.  x )  ->  B  <_  y )
98973adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A. z  e.  x  B  <_  y  /\  z  e.  x  /\  v  =  B )  ->  B  <_  y )
9996, 98eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A. z  e.  x  B  <_  y  /\  z  e.  x  /\  v  =  B )  ->  v  <_  y )
100993exp 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. z  e.  x  B  <_  y  ->  ( z  e.  x  ->  ( v  =  B  ->  v  <_  y ) ) )
101100adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  A. z  e.  x  B  <_  y )  ->  (
z  e.  x  -> 
( v  =  B  ->  v  <_  y
) ) )
102101adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  A. z  e.  x  B  <_  y )  /\  v  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }
)  ->  ( z  e.  x  ->  ( v  =  B  ->  v  <_  y ) ) )
10394, 95, 102rexlimd 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  A. z  e.  x  B  <_  y )  /\  v  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }
)  ->  ( E. z  e.  x  v  =  B  ->  v  <_ 
y ) )
10490, 103mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  A. z  e.  x  B  <_  y )  /\  v  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }
)  ->  v  <_  y )
105104ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  A. z  e.  x  B  <_  y )  ->  A. v  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } v  <_ 
y )
106105ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. z  e.  x  B  <_  y  ->  A. v  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } v  <_ 
y ) )
107106reximdv 2931 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  x  B  <_  y  ->  E. y  e.  RR  A. v  e. 
{ u  |  E. z  e.  x  u  =  B } v  <_ 
y ) )
10810, 107mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. v  e. 
{ u  |  E. z  e.  x  u  =  B } v  <_ 
y )
1091083adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  E. y  e.  RR  A. v  e. 
{ u  |  E. z  e.  x  u  =  B } v  <_ 
y )
110 suprub 10524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  C_  RR  /\  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. v  e. 
{ u  |  E. z  e.  x  u  =  B } v  <_ 
y )  /\  B  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } )  ->  B  <_  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )
)
11178, 83, 109, 81, 110syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  B  <_  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )
)
1121113adant1r 1221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  B  <_  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )
)
1131123adant1r 1221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  B  <_  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )
)
114523adant1 1014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )  =  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) ) )
115 rspa 2824 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w  /\  x  e.  A
)  ->  if (
x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w
)
1161153adant3 1016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  if (
x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w
)
117114, 116eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )  <_  w
)
1181173adant1l 1220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )  <_  w
)
11948, 57, 58, 113, 118letrd 9756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  B  <_  w )
1201193exp 1195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( z  e.  x  ->  B  <_  w ) ) )
121120adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )  /\  z  e.  C )  ->  (
x  e.  A  -> 
( z  e.  x  ->  B  <_  w )
) )
12244, 45, 121rexlimd 2941 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )  /\  z  e.  C )  ->  ( E. x  e.  A  z  e.  x  ->  B  <_  w ) )
12339, 122mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )  /\  z  e.  C )  ->  B  <_  w )
124123ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w
)  ->  ( z  e.  C  ->  B  <_  w ) )
12531, 124ralrimi 2857 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w
)  ->  A. z  e.  C  B  <_  w )
126125ex 434 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w  ->  A. z  e.  C  B  <_  w ) )
127126reximdva 2932 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  RR  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )
)  <_  w  ->  E. w  e.  RR  A. z  e.  C  B  <_  w ) )
12816, 127mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. w  e.  RR  A. z  e.  C  B  <_  w )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819   {cab 2442    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ifcif 3944   U.cuni 4251   class class class wbr 4456   Fincfn 7535   supcsup 7918   RRcr 9508   0cc0 9509    < clt 9645    <_ cle 9646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827
This theorem is referenced by:  fourierdlem70  32141  fourierdlem71  32142  fourierdlem80  32151
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