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Theorem ssfiunibd 36878
Description: A finite union of bounded sets is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ssfiunibd.fi  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
ssfiunibd.b  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. A )  ->  B  e.  RR )
ssfiunibd.bd  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  x  B  <_  y
)
ssfiunibd.ssun  |-  ( ph  ->  C  C_  U. A )
Assertion
Ref Expression
ssfiunibd  |-  ( ph  ->  E. w  e.  RR  A. z  e.  C  B  <_  w )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    w, A, x, z    x, B, y   
w, B    x, C    ph, x, y, z    ph, w
Allowed substitution hints:    B( z)    C( y, z, w)

Proof of Theorem ssfiunibd
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssfiunibd.fi . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 simpll 752 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  z  e.  x )  ->  ph )
3 19.8a 1881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  E. x ( z  e.  x  /\  x  e.  A ) )
43ancoms 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  E. x ( z  e.  x  /\  x  e.  A ) )
5 eluni 4194 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  U. A  <->  E. x
( z  e.  x  /\  x  e.  A
) )
64, 5sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  z  e.  U. A
)
76adantll 712 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  z  e.  x )  ->  z  e.  U. A )
8 ssfiunibd.b . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. A )  ->  B  e.  RR )
92, 7, 8syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  z  e.  x )  ->  B  e.  RR )
10 ssfiunibd.bd . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  x  B  <_  y
)
11 eqid 2402 . . . . . 6  |-  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  =  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )
129, 10, 11upbdrech2 36877 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  e.  RR  /\  A. z  e.  x  B  <_  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) ) ) )
1312simpld 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  e.  RR )
1413ralrimiva 2818 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  e.  RR )
15 fimaxre3 10532 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  e.  RR )  ->  E. w  e.  RR  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w
)
161, 14, 15syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  E. w  e.  RR  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w
)
17 nfv 1728 . . . . . 6  |-  F/ z ( ph  /\  w  e.  RR )
18 nfcv 2564 . . . . . . 7  |-  F/_ z A
19 nfv 1728 . . . . . . . . 9  |-  F/ z  x  =  (/)
20 nfcv 2564 . . . . . . . . 9  |-  F/_ z
0
21 nfre1 2865 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z E. z  e.  x  u  =  B
2221nfab 2568 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }
23 nfcv 2564 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z RR
24 nfcv 2564 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z  <
2522, 23, 24nfsup 7944 . . . . . . . . 9  |-  F/_ z sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )
2619, 20, 25nfif 3914 . . . . . . . 8  |-  F/_ z if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )
27 nfcv 2564 . . . . . . . 8  |-  F/_ z  <_
28 nfcv 2564 . . . . . . . 8  |-  F/_ z
w
2926, 27, 28nfbr 4439 . . . . . . 7  |-  F/ z if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w
3018, 29nfral 2790 . . . . . 6  |-  F/ z A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w
3117, 30nfan 1956 . . . . 5  |-  F/ z ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )
32 ssfiunibd.ssun . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  C_  U. A )
3332sselda 3442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  C )  ->  z  e.  U. A )
3433, 5sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  C )  ->  E. x
( z  e.  x  /\  x  e.  A
) )
35 exancom 1692 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x ( z  e.  x  /\  x  e.  A )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  z  e.  x
) )
3634, 35sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  C )  ->  E. x
( x  e.  A  /\  z  e.  x
) )
37 df-rex 2760 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  A  z  e.  x  <->  E. x
( x  e.  A  /\  z  e.  x
) )
3836, 37sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  C )  ->  E. x  e.  A  z  e.  x )
3938adant423 36802 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )  /\  z  e.  C )  ->  E. x  e.  A  z  e.  x )
40 nfv 1728 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( ph  /\  w  e.  RR )
41 nfra1 2785 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w
4240, 41nfan 1956 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )
43 nfv 1728 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  z  e.  C
4442, 43nfan 1956 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )
)  <_  w )  /\  z  e.  C
)
45 nfv 1728 . . . . . . . 8  |-  F/ x  B  <_  w
4693impa 1192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  B  e.  RR )
47463adant1r 1223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  B  e.  RR )
48473adant1r 1223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  B  e.  RR )
49 n0i 3743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  x  ->  -.  x  =  (/) )
5049adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  -.  x  =  (/) )
5150iffalsed 3896 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )
)
5251eqcomd 2410 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )  =  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) ) )
53523adant1 1015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )  =  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) ) )
54133adant3 1017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  if (
x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  e.  RR )
5553, 54eqeltrd 2490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
56553adant1r 1223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
57563adant1r 1223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
58 simp1lr 1061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  w  e.  RR )
59 nfv 1728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ u
( ph  /\  x  e.  A )
60 nfab1 2566 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ u { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }
61 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ u RR
62 abid 2389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  <->  E. z  e.  x  u  =  B )
6362biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  ->  E. z  e.  x  u  =  B )
6463adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  u  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } )  ->  E. z  e.  x  u  =  B )
65 nfv 1728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ z ( ph  /\  x  e.  A )
6621nfsab 2393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ z  u  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }
6765, 66nfan 1956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ z ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  u  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }
)
68 nfv 1728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ z  u  e.  RR
69 simp3 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  z  e.  x  /\  u  =  B )  ->  u  =  B )
7093adant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  z  e.  x  /\  u  =  B )  ->  B  e.  RR )
7169, 70eqeltrd 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  z  e.  x  /\  u  =  B )  ->  u  e.  RR )
72713exp 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
z  e.  x  -> 
( u  =  B  ->  u  e.  RR ) ) )
7372adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  u  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } )  -> 
( z  e.  x  ->  ( u  =  B  ->  u  e.  RR ) ) )
7467, 68, 73rexlimd 2888 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  u  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } )  -> 
( E. z  e.  x  u  =  B  ->  u  e.  RR ) )
7564, 74mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  u  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } )  ->  u  e.  RR )
7675ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
u  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  ->  u  e.  RR ) )
7759, 60, 61, 76ssrd 3447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  C_  RR )
78773adant3 1017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  C_  RR )
79 simp3 999 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  z  e.  x )
80 elabrexg 36806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  x  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }
)
8179, 46, 80syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  B  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } )
82 ne0i 3744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  ->  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  =/=  (/) )
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  =/=  (/) )
84 abid 2389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  e.  { v  |  E. z  e.  x  v  =  B }  <->  E. z  e.  x  v  =  B )
8584biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  e.  { v  |  E. z  e.  x  v  =  B }  ->  E. z  e.  x  v  =  B )
86 eqeq1 2406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( u  =  v  ->  (
u  =  B  <->  v  =  B ) )
8786rexbidv 2918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( u  =  v  ->  ( E. z  e.  x  u  =  B  <->  E. z  e.  x  v  =  B ) )
8887cbvabv 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  =  { v  |  E. z  e.  x  v  =  B }
8985, 88eleq2s 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  ->  E. z  e.  x  v  =  B )
9089adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  A. z  e.  x  B  <_  y )  /\  v  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }
)  ->  E. z  e.  x  v  =  B )
91 nfra1 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ z A. z  e.  x  B  <_  y
9265, 91nfan 1956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ z ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  A. z  e.  x  B  <_  y )
9321nfsab 2393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ z  v  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }
9492, 93nfan 1956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ z ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  A. z  e.  x  B  <_  y
)  /\  v  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } )
95 nfv 1728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ z  v  <_  y
96 simp3 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A. z  e.  x  B  <_  y  /\  z  e.  x  /\  v  =  B )  ->  v  =  B )
97 rspa 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A. z  e.  x  B  <_  y  /\  z  e.  x )  ->  B  <_  y )
98973adant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A. z  e.  x  B  <_  y  /\  z  e.  x  /\  v  =  B )  ->  B  <_  y )
9996, 98eqbrtrd 4415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A. z  e.  x  B  <_  y  /\  z  e.  x  /\  v  =  B )  ->  v  <_  y )
100993exp 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. z  e.  x  B  <_  y  ->  ( z  e.  x  ->  ( v  =  B  ->  v  <_  y ) ) )
101100adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  A. z  e.  x  B  <_  y )  ->  (
z  e.  x  -> 
( v  =  B  ->  v  <_  y
) ) )
102101adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  A. z  e.  x  B  <_  y )  /\  v  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }
)  ->  ( z  e.  x  ->  ( v  =  B  ->  v  <_  y ) ) )
10394, 95, 102rexlimd 2888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  A. z  e.  x  B  <_  y )  /\  v  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }
)  ->  ( E. z  e.  x  v  =  B  ->  v  <_ 
y ) )
10490, 103mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  A. z  e.  x  B  <_  y )  /\  v  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }
)  ->  v  <_  y )
105104ralrimiva 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  A. z  e.  x  B  <_  y )  ->  A. v  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } v  <_ 
y )
106105ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. z  e.  x  B  <_  y  ->  A. v  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } v  <_ 
y ) )
107106reximdv 2878 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  x  B  <_  y  ->  E. y  e.  RR  A. v  e. 
{ u  |  E. z  e.  x  u  =  B } v  <_ 
y ) )
10810, 107mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. v  e. 
{ u  |  E. z  e.  x  u  =  B } v  <_ 
y )
1091083adant3 1017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  E. y  e.  RR  A. v  e. 
{ u  |  E. z  e.  x  u  =  B } v  <_ 
y )
110 suprub 10544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  C_  RR  /\  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. v  e. 
{ u  |  E. z  e.  x  u  =  B } v  <_ 
y )  /\  B  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } )  ->  B  <_  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )
)
11178, 83, 109, 81, 110syl31anc 1233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  B  <_  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )
)
1121113adant1r 1223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  B  <_  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )
)
1131123adant1r 1223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  B  <_  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )
)
114523adant1 1015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )  =  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) ) )
115 rspa 2771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w  /\  x  e.  A
)  ->  if (
x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w
)
1161153adant3 1017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  if (
x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w
)
117114, 116eqbrtrd 4415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )  <_  w
)
1181173adant1l 1222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )  <_  w
)
11948, 57, 58, 113, 118letrd 9773 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  B  <_  w )
1201193exp 1196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( z  e.  x  ->  B  <_  w ) ) )
121120adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )  /\  z  e.  C )  ->  (
x  e.  A  -> 
( z  e.  x  ->  B  <_  w )
) )
12244, 45, 121rexlimd 2888 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )  /\  z  e.  C )  ->  ( E. x  e.  A  z  e.  x  ->  B  <_  w ) )
12339, 122mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )  /\  z  e.  C )  ->  B  <_  w )
124123ex 432 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w
)  ->  ( z  e.  C  ->  B  <_  w ) )
12531, 124ralrimi 2804 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w
)  ->  A. z  e.  C  B  <_  w )
126125ex 432 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w  ->  A. z  e.  C  B  <_  w ) )
127126reximdva 2879 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  RR  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )
)  <_  w  ->  E. w  e.  RR  A. z  e.  C  B  <_  w ) )
12816, 127mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. w  e.  RR  A. z  e.  C  B  <_  w )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842   {cab 2387    =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755    C_ wss 3414   (/)c0 3738   ifcif 3885   U.cuni 4191   class class class wbr 4395   Fincfn 7554   supcsup 7934   RRcr 9521   0cc0 9522    < clt 9658    <_ cle 9659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844
This theorem is referenced by:  fourierdlem70  37327  fourierdlem71  37328  fourierdlem80  37337
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