Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssfiunibd Structured version   Unicode version

Theorem ssfiunibd 31409
Description: A finite union of bounded sets is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ssfiunibd.fi  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
ssfiunibd.b  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. A )  ->  B  e.  RR )
ssfiunibd.bd  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  x  B  <_  y
)
ssfiunibd.ssun  |-  ( ph  ->  C  C_  U. A )
Assertion
Ref Expression
ssfiunibd  |-  ( ph  ->  E. w  e.  RR  A. z  e.  C  B  <_  w )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    w, A, x, z    x, B, y   
w, B    x, C    ph, x, y, z    ph, w
Allowed substitution hints:    B( z)    C( y, z, w)

Proof of Theorem ssfiunibd
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssfiunibd.fi . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  z  e.  x )  ->  ph )
3 19.8a 1806 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  E. x ( z  e.  x  /\  x  e.  A ) )
43ancoms 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  E. x ( z  e.  x  /\  x  e.  A ) )
5 eluni 4254 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  U. A  <->  E. x
( z  e.  x  /\  x  e.  A
) )
64, 5sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  z  e.  U. A
)
76adantll 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  z  e.  x )  ->  z  e.  U. A )
8 ssfiunibd.b . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. A )  ->  B  e.  RR )
92, 7, 8syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  z  e.  x )  ->  B  e.  RR )
10 ssfiunibd.bd . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  x  B  <_  y
)
11 eqid 2467 . . . . . 6  |-  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  =  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )
129, 10, 11upbdrech2 31408 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  e.  RR  /\  A. z  e.  x  B  <_  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) ) ) )
1312simpld 459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  e.  RR )
1413ralrimiva 2881 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  e.  RR )
15 fimaxre3 10504 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  e.  RR )  ->  E. w  e.  RR  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w
)
161, 14, 15syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  E. w  e.  RR  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w
)
17 nfv 1683 . . . . . 6  |-  F/ z ( ph  /\  w  e.  RR )
18 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ z A
19 nfv 1683 . . . . . . . . 9  |-  F/ z  x  =  (/)
20 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ z
0
21 nfre1 2928 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z E. z  e.  x  u  =  B
2221nfab 2633 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }
23 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z RR
24 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z  <
2522, 23, 24nfsup 7923 . . . . . . . . 9  |-  F/_ z sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )
2619, 20, 25nfif 3974 . . . . . . . 8  |-  F/_ z if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )
27 nfcv 2629 . . . . . . . 8  |-  F/_ z  <_
28 nfcv 2629 . . . . . . . 8  |-  F/_ z
w
2926, 27, 28nfbr 4497 . . . . . . 7  |-  F/ z if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w
3018, 29nfral 2853 . . . . . 6  |-  F/ z A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w
3117, 30nfan 1875 . . . . 5  |-  F/ z ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )
32 ssfiunibd.ssun . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  C_  U. A )
3332sselda 3509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  C )  ->  z  e.  U. A )
3433, 5sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  C )  ->  E. x
( z  e.  x  /\  x  e.  A
) )
35 ancom 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  x  /\  x  e.  A )  <->  ( x  e.  A  /\  z  e.  x )
)
3635exbii 1644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x ( z  e.  x  /\  x  e.  A )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  z  e.  x
) )
3736imbi2i 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  C )  ->  E. x
( z  e.  x  /\  x  e.  A
) )  <->  ( ( ph  /\  z  e.  C
)  ->  E. x
( x  e.  A  /\  z  e.  x
) ) )
3834, 37mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  C )  ->  E. x
( x  e.  A  /\  z  e.  x
) )
39 df-rex 2823 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  A  z  e.  x  <->  E. x
( x  e.  A  /\  z  e.  x
) )
4038, 39sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  C )  ->  E. x  e.  A  z  e.  x )
4140adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w
)  /\  z  e.  C )  ->  E. x  e.  A  z  e.  x )
4241adantllr 718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )  /\  z  e.  C )  ->  E. x  e.  A  z  e.  x )
43 nfv 1683 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( ph  /\  w  e.  RR )
44 nfra1 2848 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w
4543, 44nfan 1875 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )
46 nfv 1683 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  z  e.  C
4745, 46nfan 1875 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )
)  <_  w )  /\  z  e.  C
)
48 nfv 1683 . . . . . . . 8  |-  F/ x  B  <_  w
4993impa 1191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  B  e.  RR )
50493adant1r 1221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  B  e.  RR )
51503adant1r 1221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  B  e.  RR )
52 n0i 3795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  x  ->  -.  x  =  (/) )
5352adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  -.  x  =  (/) )
5453iffalsed 3956 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )
)
55 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )  =  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )
)
5654, 55eqtr2d 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )  =  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) ) )
57563adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )  =  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) ) )
58133adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  if (
x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  e.  RR )
5957, 58eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
60593adant1r 1221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
61603adant1r 1221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
62 simp1lr 1060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  w  e.  RR )
63 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ u
( ph  /\  x  e.  A )
64 abid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  <->  E. z  e.  x  u  =  B )
6564biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  ->  E. z  e.  x  u  =  B )
6665adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  u  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } )  ->  E. z  e.  x  u  =  B )
67 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ z ( ph  /\  x  e.  A )
68 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ z
u
6968, 22nfel 2642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ z  u  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }
7067, 69nfan 1875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ z ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  u  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }
)
71 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ z  u  e.  RR
72 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  z  e.  x  /\  u  =  B )  ->  u  =  B )
7393adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  z  e.  x  /\  u  =  B )  ->  B  e.  RR )
7472, 73eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  z  e.  x  /\  u  =  B )  ->  u  e.  RR )
75743exp 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
z  e.  x  -> 
( u  =  B  ->  u  e.  RR ) ) )
7675adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  u  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } )  -> 
( z  e.  x  ->  ( u  =  B  ->  u  e.  RR ) ) )
7770, 71, 76rexlimd 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  u  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } )  -> 
( E. z  e.  x  u  =  B  ->  u  e.  RR ) )
7866, 77mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  u  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } )  ->  u  e.  RR )
7978ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
u  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  ->  u  e.  RR ) )
8063, 79ralrimi 2867 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. u  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } u  e.  RR )
81 nfab1 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ u { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }
82 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ u RR
8381, 82dfss3f 3501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  C_  RR  <->  A. u  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } u  e.  RR )
8480, 83sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  C_  RR )
85843adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  C_  RR )
86 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  z  e.  x )
87 elabrexg 31335 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  x  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }
)
8886, 49, 87syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  B  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } )
89 ne0i 3796 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  ->  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  =/=  (/) )
9088, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  =/=  (/) )
91 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( u  =  v  ->  (
u  =  B  <->  v  =  B ) )
9291rexbidv 2978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  v  ->  ( E. z  e.  x  u  =  B  <->  E. z  e.  x  v  =  B ) )
9392cbvabv 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  =  { v  |  E. z  e.  x  v  =  B }
9493eleq2i 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  <->  v  e.  { v  |  E. z  e.  x  v  =  B }
)
9594biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  ->  v  e.  { v  |  E. z  e.  x  v  =  B } )
96 abid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  e.  { v  |  E. z  e.  x  v  =  B }  <->  E. z  e.  x  v  =  B )
9796biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  e.  { v  |  E. z  e.  x  v  =  B }  ->  E. z  e.  x  v  =  B )
9895, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  ->  E. z  e.  x  v  =  B )
9998adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  A. z  e.  x  B  <_  y )  /\  v  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }
)  ->  E. z  e.  x  v  =  B )
100 nfra1 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ z A. z  e.  x  B  <_  y
10167, 100nfan 1875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ z ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  A. z  e.  x  B  <_  y )
10221nfsab 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ z  v  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }
103101, 102nfan 1875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ z ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  A. z  e.  x  B  <_  y
)  /\  v  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } )
104 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ z  v  <_  y
105 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A. z  e.  x  B  <_  y  /\  z  e.  x  /\  v  =  B )  ->  v  =  B )
106 rspa 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A. z  e.  x  B  <_  y  /\  z  e.  x )  ->  B  <_  y )
1071063adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A. z  e.  x  B  <_  y  /\  z  e.  x  /\  v  =  B )  ->  B  <_  y )
108105, 107eqbrtrd 4473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A. z  e.  x  B  <_  y  /\  z  e.  x  /\  v  =  B )  ->  v  <_  y )
1091083exp 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. z  e.  x  B  <_  y  ->  ( z  e.  x  ->  ( v  =  B  ->  v  <_  y ) ) )
110109adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  A. z  e.  x  B  <_  y )  ->  (
z  e.  x  -> 
( v  =  B  ->  v  <_  y
) ) )
111110adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  A. z  e.  x  B  <_  y )  /\  v  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }
)  ->  ( z  e.  x  ->  ( v  =  B  ->  v  <_  y ) ) )
112103, 104, 111rexlimd 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  A. z  e.  x  B  <_  y )  /\  v  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }
)  ->  ( E. z  e.  x  v  =  B  ->  v  <_ 
y ) )
11399, 112mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  A. z  e.  x  B  <_  y )  /\  v  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }
)  ->  v  <_  y )
114113ralrimiva 2881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  A. z  e.  x  B  <_  y )  ->  A. v  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } v  <_ 
y )
115114ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. z  e.  x  B  <_  y  ->  A. v  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } v  <_ 
y ) )
116115reximdv 2941 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  x  B  <_  y  ->  E. y  e.  RR  A. v  e. 
{ u  |  E. z  e.  x  u  =  B } v  <_ 
y ) )
11710, 116mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. v  e. 
{ u  |  E. z  e.  x  u  =  B } v  <_ 
y )
1181173adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  E. y  e.  RR  A. v  e. 
{ u  |  E. z  e.  x  u  =  B } v  <_ 
y )
119 suprub 10516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  C_  RR  /\  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B }  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. v  e. 
{ u  |  E. z  e.  x  u  =  B } v  <_ 
y )  /\  B  e.  { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } )  ->  B  <_  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )
)
12085, 90, 118, 88, 119syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  B  <_  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )
)
1211203adant1r 1221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  B  <_  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )
)
1221213adant1r 1221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  B  <_  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )
)
123563adant1 1014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )  =  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) ) )
124 rspa 2834 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w  /\  x  e.  A
)  ->  if (
x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w
)
1251243adant3 1016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  if (
x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w
)
126123, 125eqbrtrd 4473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )  <_  w
)
1271263adant1l 1220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )  <_  w
)
12851, 61, 62, 122, 127letrd 9750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x )  ->  B  <_  w )
1291283exp 1195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( z  e.  x  ->  B  <_  w ) ) )
130129adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )  /\  z  e.  C )  ->  (
x  e.  A  -> 
( z  e.  x  ->  B  <_  w )
) )
13147, 48, 130rexlimd 2951 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )  /\  z  e.  C )  ->  ( E. x  e.  A  z  e.  x  ->  B  <_  w ) )
13242, 131mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w )  /\  z  e.  C )  ->  B  <_  w )
133132ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w
)  ->  ( z  e.  C  ->  B  <_  w ) )
13431, 133ralrimi 2867 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w
)  ->  A. z  e.  C  B  <_  w )
135134ex 434 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  ) )  <_  w  ->  A. z  e.  C  B  <_  w ) )
136135reximdva 2942 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  RR  A. x  e.  A  if ( x  =  (/) ,  0 ,  sup ( { u  |  E. z  e.  x  u  =  B } ,  RR ,  <  )
)  <_  w  ->  E. w  e.  RR  A. z  e.  C  B  <_  w ) )
13716, 136mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. w  e.  RR  A. z  e.  C  B  <_  w )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   {cab 2452    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818    C_ wss 3481   (/)c0 3790   ifcif 3945   U.cuni 4251   class class class wbr 4453   Fincfn 7528   supcsup 7912   RRcr 9503   0cc0 9504    < clt 9640    <_ cle 9641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820
This theorem is referenced by:  fourierdlem70  31800  fourierdlem71  31801  fourierdlem80  31810
  Copyright terms: Public domain W3C validator