Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmsubcsetc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmsubcsetc 41815
 Description: The unital ring homomorphisms between unital rings (in a universe) are a subcategory of the category of extensible structures. (Contributed by AV, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmsubcsetc.c 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
rhmsubcsetc.u (𝜑𝑈𝑉)
rhmsubcsetc.b (𝜑𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
rhmsubcsetc.h (𝜑𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
rhmsubcsetc (𝜑𝐻 ∈ (Subcat‘𝐶))

Proof of Theorem rhmsubcsetc
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rhmsubcsetc.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
2 rhmsubcsetc.b . . . 4 (𝜑𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
31, 2rhmsscmap 41812 . . 3 (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) ⊆cat (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑𝑚 (Base‘𝑥))))
4 rhmsubcsetc.h . . 3 (𝜑𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
5 rhmsubcsetc.c . . . . 5 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
6 eqid 2610 . . . . 5 (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
75, 1, 6estrchomfeqhom 16599 . . . 4 (𝜑 → (Homf𝐶) = (Hom ‘𝐶))
85, 1, 6estrchomfval 16589 . . . 4 (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑𝑚 (Base‘𝑥))))
97, 8eqtrd 2644 . . 3 (𝜑 → (Homf𝐶) = (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑𝑚 (Base‘𝑥))))
103, 4, 93brtr4d 4615 . 2 (𝜑𝐻cat (Homf𝐶))
115, 1, 2, 4rhmsubcsetclem1 41813 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))
125, 1, 2, 4rhmsubcsetclem2 41814 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
1311, 12jca 553 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))
1413ralrimiva 2949 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))
15 eqid 2610 . . 3 (Homf𝐶) = (Homf𝐶)
16 eqid 2610 . . 3 (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
17 eqid 2610 . . 3 (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
185estrccat 16596 . . . 4 (𝑈𝑉𝐶 ∈ Cat)
191, 18syl 17 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
20 incom 3767 . . . . 5 (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
212, 20syl6eq 2660 . . . 4 (𝜑𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
2221, 4rhmresfn 41801 . . 3 (𝜑𝐻 Fn (𝐵 × 𝐵))
2315, 16, 17, 19, 22issubc2 16319 . 2 (𝜑 → (𝐻 ∈ (Subcat‘𝐶) ↔ (𝐻cat (Homf𝐶) ∧ ∀𝑥𝐵 (((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))))
2410, 14, 23mpbir2and 959 1 (𝜑𝐻 ∈ (Subcat‘𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ∩ cin 3539  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   × cxp 5036   ↾ cres 5040  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551   ↑𝑚 cmap 7744  Basecbs 15695  Hom chom 15779  compcco 15780  Catccat 16148  Idccid 16149  Homf chomf 16150   ⊆cat cssc 16290  Subcatcsubc 16292  ExtStrCatcestrc 16585  Ringcrg 18370   RingHom crh 18535 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-cat 16152  df-cid 16153  df-homf 16154  df-ssc 16293  df-resc 16294  df-subc 16295  df-estrc 16586  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-ghm 17481  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-rnghom 18538  df-ringc 41797 This theorem is referenced by:  ringccat  41816  ringcid  41817  funcringcsetc  41827
 Copyright terms: Public domain W3C validator