Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmsubcALTVlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmsubcALTVlem4 41900
 Description: Lemma 4 for rhmsubcALTV 41901. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcrescrhmALTV.u (𝜑𝑈𝑉)
rngcrescrhmALTV.c 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
rngcrescrhmALTV.r (𝜑𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhmALTV.h 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
Assertion
Ref Expression
rhmsubcALTVlem4 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑦,𝑈   𝑦,𝑉   𝜑,𝑦   𝑧,𝑅,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑓,𝑔)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝑅(𝑓,𝑔)   𝑈(𝑥,𝑧,𝑓,𝑔)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝑉(𝑥,𝑧,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rhmsubcALTVlem4
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑅) → 𝜑)
21adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝜑)
3 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑅) → 𝑥𝑅)
43adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑥𝑅)
5 simpl 472 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑅𝑧𝑅) → 𝑦𝑅)
65adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑦𝑅)
7 rngcrescrhmALTV.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝑉)
8 rngcrescrhmALTV.c . . . . . . . 8 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
9 rngcrescrhmALTV.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
10 rngcrescrhmALTV.h . . . . . . . 8 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
117, 8, 9, 10rhmsubcALTVlem2 41898 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑅𝑦𝑅) → (𝑥𝐻𝑦) = (𝑥 RingHom 𝑦))
122, 4, 6, 11syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑥𝐻𝑦) = (𝑥 RingHom 𝑦))
1312eleq2d 2673 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ↔ 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦)))
14 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑅𝑧𝑅) → 𝑧𝑅)
1514adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑧𝑅)
167, 8, 9, 10rhmsubcALTVlem2 41898 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑅𝑧𝑅) → (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
172, 6, 15, 16syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
1817eleq2d 2673 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) ↔ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)))
1913, 18anbi12d 743 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) ↔ (𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))))
20 rhmco 18560 . . . . 5 ((𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦)) → (𝑔𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
2120ancoms 468 . . . 4 ((𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)) → (𝑔𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
2219, 21syl6bi 242 . . 3 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → (𝑔𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧)))
2322imp 444 . 2 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
24 eqid 2610 . . 3 (RngCatALTV‘𝑈) = (RngCatALTV‘𝑈)
25 eqid 2610 . . 3 (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))
267ad3antrrr 762 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑈𝑉)
27 eqid 2610 . . 3 (comp‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (comp‘(RngCatALTV‘𝑈))
28 incom 3767 . . . . . . . 8 (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
29 ringrng 41669 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ Ring → 𝑥 ∈ Rng)
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ Ring → 𝑥 ∈ Rng))
3130ssrdv 3574 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Ring ⊆ Rng)
32 sslin 3801 . . . . . . . . 9 (Ring ⊆ Rng → (𝑈 ∩ Ring) ⊆ (𝑈 ∩ Rng))
3331, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) ⊆ (𝑈 ∩ Rng))
3428, 33syl5eqss 3612 . . . . . . 7 (𝜑 → (Ring ∩ 𝑈) ⊆ (𝑈 ∩ Rng))
3524, 25, 7rngcbasALTV 41775 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Rng))
3634, 9, 353sstr4d 3611 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ⊆ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
3736sselda 3568 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑅) → 𝑥 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
3837adantr 480 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
3938adantr 480 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑥 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
4036sseld 3567 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝑅𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
4140adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑅) → (𝑦𝑅𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
4241com12 32 . . . . . 6 (𝑦𝑅 → ((𝜑𝑥𝑅) → 𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
4342adantr 480 . . . . 5 ((𝑦𝑅𝑧𝑅) → ((𝜑𝑥𝑅) → 𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
4443impcom 445 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
4544adantr 480 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
4636sseld 3567 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧𝑅𝑧 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
4746adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑅) → (𝑧𝑅𝑧 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
4847adantld 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑅) → ((𝑦𝑅𝑧𝑅) → 𝑧 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
4948imp 444 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑧 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
5049adantr 480 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑧 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
51 rhmisrnghm 41710 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦) → 𝑓 ∈ (𝑥 RngHomo 𝑦))
5213, 51syl6bi 242 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → 𝑓 ∈ (𝑥 RngHomo 𝑦)))
5352com12 32 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑓 ∈ (𝑥 RngHomo 𝑦)))
5453adantr 480 . . . 4 ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑓 ∈ (𝑥 RngHomo 𝑦)))
5554impcom 445 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓 ∈ (𝑥 RngHomo 𝑦))
56 rhmisrnghm 41710 . . . . . 6 (𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) → 𝑔 ∈ (𝑦 RngHomo 𝑧))
5718, 56syl6bi 242 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) → 𝑔 ∈ (𝑦 RngHomo 𝑧)))
5857adantld 482 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔 ∈ (𝑦 RngHomo 𝑧)))
5958imp 444 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑦 RngHomo 𝑧))
6024, 25, 26, 27, 39, 45, 50, 55, 59rngccoALTV 41780 . 2 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) = (𝑔𝑓))
617, 8, 9, 10rhmsubcALTVlem2 41898 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑅𝑧𝑅) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
622, 4, 15, 61syl3anc 1318 . . 3 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
6362adantr 480 . 2 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
6423, 60, 633eltr4d 2703 1 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ⟨cop 4131   × cxp 5036   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  compcco 15780  Ringcrg 18370   RingHom crh 18535  Rngcrng 41664   RngHomo crngh 41675  RngCatALTVcrngcALTV 41750 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-ghm 17481  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-rnghom 18538  df-mgmhm 41569  df-rng0 41665  df-rnghomo 41677  df-rngcALTV 41752 This theorem is referenced by:  rhmsubcALTV  41901
 Copyright terms: Public domain W3C validator