Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmsubcALTVlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmsubcALTVlem3 41899
 Description: Lemma 3 for rhmsubcALTV 41901. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcrescrhmALTV.u (𝜑𝑈𝑉)
rngcrescrhmALTV.c 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
rngcrescrhmALTV.r (𝜑𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhmALTV.h 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
Assertion
Ref Expression
rhmsubcALTVlem3 ((𝜑𝑥𝑅) → ((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rhmsubcALTVlem3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rngcrescrhmALTV.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
21eleq2d 2673 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑅𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
3 elinel1 3761 . . . . 5 (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ Ring)
42, 3syl6bi 242 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑅𝑥 ∈ Ring))
54imp 444 . . 3 ((𝜑𝑥𝑅) → 𝑥 ∈ Ring)
6 eqid 2610 . . . 4 (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
76idrhm 18554 . . 3 (𝑥 ∈ Ring → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
85, 7syl 17 . 2 ((𝜑𝑥𝑅) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
9 rngcrescrhmALTV.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝑉)
109adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑅) → 𝑈𝑉)
11 eqid 2610 . . . . 5 (RngCatALTV‘𝑈) = (RngCatALTV‘𝑈)
12 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))
1311, 12rngccatidALTV 41781 . . . 4 (𝑈𝑉 → ((RngCatALTV‘𝑈) ∈ Cat ∧ (Id‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) ↦ ( I ↾ (Base‘𝑦)))))
14 simpr 476 . . . 4 (((RngCatALTV‘𝑈) ∈ Cat ∧ (Id‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) ↦ ( I ↾ (Base‘𝑦)))) → (Id‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) ↦ ( I ↾ (Base‘𝑦))))
1510, 13, 143syl 18 . . 3 ((𝜑𝑥𝑅) → (Id‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) ↦ ( I ↾ (Base‘𝑦))))
16 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (Base‘𝑦) = (Base‘𝑥))
1716reseq2d 5317 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → ( I ↾ (Base‘𝑦)) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
1817adantl 481 . . 3 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ( I ↾ (Base‘𝑦)) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
19 incom 3767 . . . . . . . 8 (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
201, 19syl6eq 2660 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 = (𝑈 ∩ Ring))
2120eleq2d 2673 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑅𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
22 ringrng 41669 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ Ring → 𝑥 ∈ Rng)
2322anim2i 591 . . . . . . 7 ((𝑥𝑈𝑥 ∈ Ring) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ Rng))
24 elin 3758 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring) ↔ (𝑥𝑈𝑥 ∈ Ring))
25 elin 3758 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng) ↔ (𝑥𝑈𝑥 ∈ Rng))
2623, 24, 253imtr4i 280 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
2721, 26syl6bi 242 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑅𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng)))
2827imp 444 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑅) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
29 rngcrescrhmALTV.c . . . . . 6 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
3029eqcomi 2619 . . . . . . 7 (RngCatALTV‘𝑈) = 𝐶
3130fveq2i 6106 . . . . . 6 (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (Base‘𝐶)
3229, 31, 9rngcbasALTV 41775 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Rng))
3332adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑅) → (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Rng))
3428, 33eleqtrrd 2691 . . 3 ((𝜑𝑥𝑅) → 𝑥 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
35 fvex 6113 . . . . 5 (Base‘𝑥) ∈ V
3635a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑅) → (Base‘𝑥) ∈ V)
3736resiexd 6385 . . 3 ((𝜑𝑥𝑅) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ V)
3815, 18, 34, 37fvmptd 6197 . 2 ((𝜑𝑥𝑅) → ((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
39 rngcrescrhmALTV.h . . . 4 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
409, 29, 1, 39rhmsubcALTVlem2 41898 . . 3 ((𝜑𝑥𝑅𝑥𝑅) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
41403anidm23 1377 . 2 ((𝜑𝑥𝑅) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
428, 38, 413eltr4d 2703 1 ((𝜑𝑥𝑅) → ((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ↦ cmpt 4643   I cid 4948   × cxp 5036   ↾ cres 5040  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  Catccat 16148  Idccid 16149  Ringcrg 18370   RingHom crh 18535  Rngcrng 41664  RngCatALTVcrngcALTV 41750 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-cat 16152  df-cid 16153  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-ghm 17481  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-rnghom 18538  df-mgmhm 41569  df-rng0 41665  df-rnghomo 41677  df-rngcALTV 41752 This theorem is referenced by:  rhmsubcALTV  41901
 Copyright terms: Public domain W3C validator