Theorem red1wlk 40881

Description: A 1-walk ending at the last but one vertex of the walk is a 1-walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Nov-2017.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
red1wlk	⊢ ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(1Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))))

Proof of Theorem red1wlk

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkv 40815	. . 3 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
2		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	is1wlk 40813	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))))))
5		wrdred1 40240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)))
7	3	1wlkf 40819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
8		red1wlklem 40880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 1 ≤ (#‘𝐹) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺))
9	8	3exp 1256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (1 ≤ (#‘𝐹) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺))))
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (1 ≤ (#‘𝐹) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺))))
11	10	imp 444	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺)))
12		1wlkcl 40820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
13		wrdred1hash 40241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1))
14	7, 13	sylan 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1))
15		nn0z 11277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℤ)
16		fzossrbm1 12366	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℤ → (0..^((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (0..^((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
18		ssralv 3629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0..^((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
20	17	sselda 3568	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
21		fvres 6117	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))
23	22	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (𝑃‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘))
24		fzo0ss1 12367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1..^(#‘𝐹)) ⊆ (0..^(#‘𝐹))
25		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)))
26	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (#‘𝐹) ∈ ℤ)
27		1zzd 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → 1 ∈ ℤ)
28		fzoaddel2 12391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑘 + 1) ∈ (1..^(#‘𝐹)))
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (1..^(#‘𝐹)))
30	24, 29	sseldi 3566	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
31		fvres 6117	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
33	32	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)))
34	23, 33	eqeq12d 2625	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → ((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))))
35		fvres 6117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)) → ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
36	35	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
37	36	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘))
38	37	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))
39	23	sneqd 4137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → {(𝑃‘𝑘)} = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)})
40	38, 39	eqeq12d 2625	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} ↔ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}))
41	23, 33	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))})
42	41, 38	sseq12d 3597	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ↔ {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘))))
43	34, 40, 42	ifpbi123d 1021	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) ↔ if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
44	43	biimpd 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
45	44	ralimdva 2945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
46	19, 45	syld 46	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
48		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1) → (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))))) = (0..^((#‘𝐹) − 1)))
49	48	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1) → (0..^((#‘𝐹) − 1)) = (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))))))
50	49	raleqdv 3121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1) → (∀𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
51	50	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1)) → (∀𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
52	47, 51	sylibd 228	. . . . . . . . 9 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
53	12, 14, 52	syl2an2r 872	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
54	6, 11, 53	3anim123d 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘))))))
55	54	imp 444	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))))) → ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
56		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝐺 ∈ V)
57		resexg 5362	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ V)
58		resexg 5362	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ V → (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))) ∈ V)
59	2, 3	is1wlk 40813	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ V ∧ (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))) ∈ V) → ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(1Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))) ↔ ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘))))))
60	59	bicomd 212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ V ∧ (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))) ∈ V) → (((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))) ↔ (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(1Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))))
61	56, 57, 58, 60	syl3an 1360	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))) ↔ (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(1Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))))
62	55, 61	syl5ib 233	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))))) → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(1Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))))
63	62	expcomd 453	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(1Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))))))
64	4, 63	sylbid 229	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(1Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))))))
65	1, 64	mpcom 37	. 2 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(1Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))))
66	65	anabsi5 854	1 ⊢ ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(1Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383  if-wif 1006   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  1Walksc1wlks 40796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-1wlks 40800

This theorem is referenced by: (None)